Cho \(a, b\in Z\), \(b>0\) so sánh 2 số hữu tỉ
\(\frac{a}{b} \) và \(\frac{a+2018}{b+2018} \)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
7 tháng 7 2017
1.
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ad+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
2.
Ta có: a(b + n) = ab + an (1)
b(a + n) = ab + bn (2)
Trường hợp 1: nếu a < b mà n > 0 thì an < bn (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{n}< \frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 2: nếu a > b mà n > 0 thì an > bn (4)
Từ (1),(2),(4) suy ra a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)
K
8 tháng 7 2019
Để so sánh \(\frac{a}{b}\)và \(\frac{a+1}{b+1}\), ta đi so sánh hai số \(a\left(b+1\right)\)và \(b\left(a+1\right)\).
Xét hiệu:
\(a\left(b+1\right)-b\left(a+1\right)=ab+a-\left(ab+b\right)=a-b\)
Ta có 3 trường hợp, với điều kiện b > 0:
Trường hợp 1: Nếu \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)thì:
\(a\left(b+1\right)-b\left(a+1\right)=0\Leftrightarrow a\left(b+1\right)=b\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b+1\right)}{b\left(a+1\right)}=\frac{b\left(a+1\right)}{a\left(b+1\right)}\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}\)
Trường hợp 2: Nếu \(a-b< 0\Leftrightarrow a< b\)thì:
\(a\left(b+1\right)-b\left(a+1\right)< 0\Leftrightarrow a\left(b+1\right)< b\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b+1\right)}{b\left(a+1\right)}< \frac{b\left(a+1\right)}{a\left(b+1\right)}\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+1}{b+1}\)
Trường hợp 3: Nếu \(a-b>0\Leftrightarrow a>b\)thì:
\(a\left(b+1\right)-b\left(a+1\right)>0\Leftrightarrow a\left(b+1\right)>b\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b+1\right)}{b\left(a+1\right)}>\frac{b\left(a+1\right)}{a\left(b+1\right)}\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+1}{b+1}\)
24 tháng 8 2016
+\(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+2016}{b+2016}\)
+\(\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b\Leftrightarrow\frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b}>\frac{a-b}{b+2016}=\frac{a+2016}{b+2016}-1\)=> \(\frac{a}{b}>\frac{a+2016}{b+2016}\)
+\(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\Leftrightarrow1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}>\frac{b-a}{b+2016}=1-\frac{a+2016}{b+2016}\)=>\(\frac{a}{b}< \frac{a+2016}{b+2016}\)
24 tháng 8 2016
Ta có a/b-1=a-b/b ; a+2001/b+2001-1=a+2001-b-2001/b+2001=a-b/b+2001
Hai phân số trên cùng tử mà b+2001>b nên a-b/b+2001<a-b/b hay a+2001/b+2001<a/b
PC
7 tháng 9 2016
Nếu
a < b
=) \(\frac{a}{b}< \frac{a+2001}{b+2001}\)
Nếu a > b
=) \(\frac{a}{b}>\frac{a+2001}{b+2001}\)
Nếu a = b
=) \(\frac{a}{b}=\frac{a+2001}{b+2001}\)
7 tháng 9 2016
Xét tích \(a\left(b+2001\right)=ab+2001a\\ b\left(a+2001\right)=ab+2001b.\)Vì \(b>0\)nên \(b+2001>0\).
Nếu \(a>b\) thì \(ab+2001a>ab+2001b\\ a\left(b+2001\right)>b\left(a+2001\right)\)
\(\frac{\Rightarrow a}{b}>\frac{a+2001}{b+2001}\)
Nếu \(a< b\) thì \(\frac{\Rightarrow a}{b}< \frac{a+2001}{b+2001}\)
Nếu \(a=b\) thì rõ ràng \(\frac{a}{b}=\frac{a+2001}{b+2001}\)
HH
25 tháng 9 2015
ta có \(\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\left(m>0,a\ge0,b>0\right)\)
Nên \(\frac{a}{b}<\frac{a+2015}{b+2015}\)
25 tháng 9 2015
Áp dụng tính chất \(\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\) (m,b \(\in\) N*)
Do đó \(\frac{a}{b}<\frac{a+2015}{b+2015}\)
VS
23 tháng 6 2018
Quy đồng mẫu số:
\(\frac{a}{b}\)= \(\frac{a\left(b+2001\right)}{b\left(b+2001\right)}\)=\(\frac{ab+2001a}{b\left(b+2001\right)}\)
\(\frac{a+2001}{b+2001}\)=\(\frac{\left(a+2001\right)b}{\left(b+2001\right)b}\)=\(\frac{ab+2001b}{b\left(b+2001\right)}\)
Vì b>0 nên mẫu số của 2 phân số trên dương.Chỉ cần so sánh tử số
so sánh ab+2001a vớiab+2001b
-Nếu a<b =>Tử số phân số thứ nhất < tử số phân số thứ 2
=> \(\frac{a}{b}\)< \(\frac{a+2001}{b+2001}\)
-Nếu a=b => 2 phân số bằng 1
-Nếu a>b => tử số phân số thứ nhất lớn hơn tử số phân số thứ 2
=> \(\frac{a}{b}\)< \(\frac{a+2001}{b+2001}\)
23 tháng 6 2018
Ta có:
( a + 2001 ) .b = a.b + b.2001 ( 1 )
( b . 2001 ) . a = a.b + a.2001 ( 2 )
Xét 3 trường hợp :
TH1: a=b
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => b.2001 = a.2001 => a.b + b.2001 = a.b + a.2001 => ( a + 2001 ) .b = ( b + 2001 ) .a => \(\frac{a}{b}\)= \(\frac{a+2001}{b+2001}\)
TH2: a<b
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => b.2001 > a.2001 => a.b + b.2001 > a.b + a.2001 => ( a + 2001 ) .b > ( b + 2001 ) .a => \(\frac{a}{b}\)< \(\frac{a+2001}{b+2001}\)
TH3: a>b
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => b.2001 < a.2001 => a.b + b.2001 < a.b + a.2001 => ( a + 2001 ) .b < ( b + 2001 ) .a => \(\frac{a}{b}\)> \(\frac{a+2001}{b+2001}\)
ủng hộ nhé
11 tháng 7 2015
(+) Th1 : a = b
=> \(\frac{a}{b}=1\) và \(\frac{a+n}{b+n}=1\)
=> \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\)
(+) th2 : a < b
\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}\)
\(\frac{a+n}{b+n}=\frac{b\left(a+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}\)
Vì a < b và n thuộc N* => an < bn => ab + an < ab + bn => \(\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}<\frac{ab+bn}{b\left(b+n\right)}\)
=> \(\frac{a}{b}<\frac{a+n}{b+n}\)
(+) Th3 : a > b tương tự TH2 .
=> \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
26 tháng 7 2020
Ta có: a/b<a+n/b+n <=> a(b+n)<b(a+n)
<=> a.b+a.n<b.a+b.n
<=> a.n<b.n
<=> a<b =>a/b<a+n/b+n <=> a<b
Tương tự: a/b>a+n/b+n <=> a>b
Ta có:
\(1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}\)
\(1-\frac{a+2018}{b+2018}=\frac{b-a}{b+2018}\)
Do b+2018>b => \(\frac{b-a}{b}>\frac{b-a}{b+2018}\Rightarrow1-\frac{a}{b}>1-\frac{a+2018}{b+2018}\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+2018}{b+2018}\)