a2+b2+c2\(\ge\)\(\sqrt{abc}\).(\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\))
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 1 2021
1.
Sửa đề: \(S=\dfrac{1}{6}\left(ch_a+bh_c+ah_b\right)\)
\(a.h_a=b.h_b=c.h_c=2S\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h_a=\dfrac{2S}{a}\\h_b=\dfrac{2S}{b}\\h_c=\dfrac{2S}{c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6S=\dfrac{2Sc}{a}+\dfrac{2Sb}{c}+\dfrac{2Sa}{b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3\)
Mặt khác theo AM-GM: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(\Leftrightarrow\) Tam giác đã cho đều
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 1 2021
2.
Bạn coi lại đề, biểu thức câu này rất kì quặc (2 vế không đồng bậc)
Ở vế trái là \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) hay \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) nhỉ?
3.
Theo câu a, ta có:
\(VT=\dfrac{2S}{a}+\dfrac{2S}{b}+\dfrac{2S}{c}\ge\dfrac{18S}{a+b+c}=\dfrac{18.pr}{a+b+c}=9r\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Hay tam giác đã cho đều
16 tháng 12 2021
\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge2\sqrt{2a^2}\cdot2\sqrt{2b^2}\cdot2\sqrt{2c^2}=8abc\sqrt{8}=16abc\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}\)
26 tháng 11 2021
\(M=a^2-a\left|a\right|-\dfrac{b}{2}\cdot2\left|b\right|-b^2\\ M=a^2+a^2-b^2-b^2\\ M=2\left(a^2-b^2\right)\\ D\)
F
6 tháng 4 2022
Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}\) \(\Rightarrow xyz=1\) (x;y;z > 0 do a;b;c>0)
Cần c/m : \(VT=\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{x^2+z^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}\ge x+y+z+3=VP\)
Dễ dàng c/m : VT \(\ge2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\) (1)
Thấy : \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\ge2x\) . CMTT : \(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\ge2z;\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}\ge2y\)
Suy ra : \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\ge x+y+z\)
Có : \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
Suy ra : \(2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\right)\ge x+y+z+3\left(2\right)\)
Từ (1) ; (2) suy ra : \(VT\ge VP\)
" = " \(\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 4 2019
a;b;c dương
\(A=\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
VD
24 tháng 1 2018
bđt cần c/m tương đương với:
\(\left(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)+\left(\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)+\left(\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\\ \ \)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
Mặt khác:
\(a+b+c\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
=> \(VT\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Ta cần c/m:
\(3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
<=> \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)(BĐt Cô-si)
xong rồi bạn nhé
Hình như thiếu điều kiện a;b;c không âm
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Tiếp tục dùng Cauchy: \(ab+bc\ge2\sqrt{ab^2c}\)
Tương tự: \(bc+ca\ge2\sqrt{abc^2};ca+ab\ge2\sqrt{a^2bc}\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\sqrt{a^2bc}+2\sqrt{ab^2c}+2\sqrt{abc^2}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{a^2bc}+\sqrt{ab^2c}+\sqrt{abc^2}=\sqrt{abc}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{abc}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c.
\(\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)
thiếu a;b;c k âm nhá
áp dụng bđt cosi ngược ta có:
\(\sqrt{bc}< =\frac{b+c}{2}\Rightarrow a\sqrt{bc}< =\frac{a\left(b+c\right)}{2}=\frac{ab+ac}{2}\)
tương tự \(b\sqrt{ac}< =\frac{ab+bc}{2};c\sqrt{ab}< =\frac{ac+bc}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}< =\frac{ab+ac}{2}+\frac{ab+bc}{2}+\frac{ac+bc}{2}\)
\(=\frac{ab+ac+ab+bc+ac+bc}{2}=\frac{2ab+2bc+2ac}{2}=ab+ac+bc\left(1\right)\)
\(2ab< =a^2+b^2;2bc< =b^2+c^2;2ac< =a^2+c^2\Rightarrow2ab+2bc+2ac< =\)
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2\Rightarrow ab+bc+ac< =a^2+b^2+c^2\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)< =a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>=\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(đpcm\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c