Cho a,b,c dương. C/m:
\(\frac{a}{b+a}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 2 2017
Ta có:
2(a+c+m )=a+a+c+c+m+m<a+b+c+d+m+n
=> \(\frac{2\left(a+c+m\right)}{a+b+c+d+m+n}< 1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\)
22 tháng 2 2017
Theo giải thiết đề bài ta có : : \(a< b< c< d< m< n\Rightarrow2a< a+b;2c< c+d;2m< m+n\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{2\left(a+c+m\right)}{a+b+c+d+m+n}< \frac{\frac{a+b+c+d+m+n}{2}}{a+b+c+d+m+n}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{a+c+m}{a+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
NA
1
24 tháng 9 2016
Do a < b < c < d < m < n
=> a + c + m < b + d + n
=> 2.(a + c + m) < a + b + c + d + m + n
=> \(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
LN
3
13 tháng 7 2016
Do a < b < c < d < m < n
=> a + c + m < b + d + n
=> 2 × (a + c + m) < a + b + c + d + m + n
=> a + c + m / a + b + c + d + m + n < 1/2 ( đpcm)
13 tháng 7 2016
Do a < b < c < d < m < n
=> a + c + m < b + d + n
=> 2 × (a + c + m) < a + b + c + d + m + n
=> a + c + m / a + b + c + d + m + n < 1/2 ( đpcm)
31 tháng 5 2015
a < b => 2a < a + b ; c < d => 2c < c + d ; m < n => 2m < m + n
Suy ra 2a + 2c + 2m = 2(a + c + m) < a + b + c + d + m + n. Do đó
\(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}<\frac{1}{2}\)
17 tháng 4 2018
cái này dễ để em làm cho:
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
ta có\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{\left(a+b\right)-b}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)-c}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)-a}{c+a}\)
\(=1-\frac{b}{a+b}+1-\frac{c}{b+c}+1-\frac{a}{c+a}\)
\(=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)
đặt E=\(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)
\(>\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\)(1)
\(\Rightarrow E>1\)
\(\Rightarrow3-E< 2\)
CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ \(\frac{A}{A+B}+\frac{B}{B+C}+\frac{C}{C+A}< 1NHƯ\left(1\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
21 tháng 6 2019
Ta có bđt quen thuộc sau \(\frac{x}{y+z}< \frac{x+m}{y+z+m}\)
Áp dụng ta được \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
Do đó \(VT< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Ta đi chứng minh VP > 2
Áp dụng bđt Cô-si có \(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{b+c}{a}}\le\frac{a+b+c}{2a}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 vế lại ta được \(VP\ge\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Do đó \(VP\ge2>VT\)
\(\Rightarrow VT< VP\left(Q.E.D\right)\)
Dấu "=" không xảy ra
AM
12 tháng 6 2015
Do a<b<c<d<m<n
=>a+c+m<b+d+n
=>2(a+c+m)<a+b+c+d+m+n
=>\(\frac{2\left(a+c+m\right)}{a+b+c+d+m+n}<1\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}<\frac{1}{2}\)
WR
12 tháng 6 2015
a<b=>2a<a+b
c<d=>2c<c+d
m<n=>2m<m+n
=>2(a+c+m)<a+b+c+d+m+n
=>\(\frac{2\left(a+c+m\right)}{a+b+c+d+m+n}<\frac{a+b+c+d+m+n}{a+b+c+d+m+n}=1\)
<=>\(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}<\frac{1}{2}\)(đpcm)
Ta có : \(\frac{a}{b+a}=\frac{b+a-b}{b+a}=1-\frac{b}{b+a}\)
\(\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{b+c+a-b}{a+b+c}=1-\frac{b}{a+b+c}\)
Vì \(\frac{b}{b+a}>\frac{b}{a+b+c}\Rightarrow1-\frac{b}{b+a}< 1-\frac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+a}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Vay \(\frac{a}{b+a}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Quy đồng 2 vế rồi khử mẫu ta có :
a^2+ab+ac<ab+a^2+bc+ac
=>a^2+ab+ac-a^2-ab-ac<bc
=>0<bc (luôn đúng do b,c>0)