Chứng minh rằng: a2+ab+b2>0
Biết a>0, b>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2019
a/
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a>2\Rightarrow\frac{1}{a}< \frac{1}{2}\\b>2\Rightarrow\frac{1}{b}< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}< 1\Rightarrow a+b< ab\) (đpcm)
b/ Ko rõ đề là gì
c/ \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
TC
1
T
26 tháng 3 2020
Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)
KK
0
HP
2
ML
25 tháng 6 2015
+TH1: có 1 số < 0 là a, 2 số lớn hơn 0 là b,c
=> bc > 0 mà a < 0
=> abc < 0 (trái giả thiết) => không tồn tại trường hợp này.
+TH2: 2 số <0 là b,c ; 1 số lớn hơn 0 là a.
=> bc > 0; b+c < 0; a > 0
a+b+c > 0 => a > -(b+c) > 0 => a.(b+c) < -(b+c).(b+c) (nhân cả 2 vế với 1 số < 0 là (b+c) nên đổi chiều)
=> ab+bc+ca=a(b+c) + bc < -(b+c)2 + bc = -(b2+c2+bc) < 0 (do b2,c2,bc > 0) => trái giả thiết => không tồn tại trường hợp này.
+TH3: a,b,c < 0
=>abc < 0 => trái giả thiết => không tồn tại trường hợp này.
Vậy: a,b,c > 0
3 tháng 2 2017
Ta có: abc > 0 nên xảy ra 2 trường hợp hoặc là a,b,c đều dương (bài toán được chứng minh) hoặc trong 3 số sẽ có 2 số âm 1 số dương.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(\hept{\begin{cases}a< 0\\b< 0\\c>0\end{cases}}\)
Ta đặt: \(\hept{\begin{cases}a=-x\left(x>0\right)\\b=-y\left(y>0\right)\end{cases}}\) thì theo đề bài ta có
\(\hept{\begin{cases}c-x-y>0\\xy-cx-xy>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c>x+y\left(1\right)\\xy>cx+cy\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) ta có thể suy ra được: \(\hept{\begin{cases}cx>x^2+xy\\cy>y^2+xy\end{cases}}\)
\(\Rightarrow cx+cy>x^2+2xy+y^2\left(3\right)\)
Từ (2) và (3) ta có: \(xy>cx+cy>x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow0>x^2+xy+y^2\) (sai)
Từ đây ta thấy rằng chỉ có trường hợp \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\\c>0\end{cases}}\) là đúng
3 tháng 2 2017
Rõ rảng abc > 0 nên a,b,c phải khác 0
+ Giả sử trong a,b,c có 1 số bé hơn 0,vì vai trò a,b,c như nhau giả sử là a ta có
a < 0 ,do abc > 0 => bc < 0 do a(b + c) + bc > 0 => a(b + c) > -bc hay a(b + c) > 0 do a < 0 => b + c < 0
=> a + b + c < 0 mâu thuẫn với 1 giả thiết a + b + c > 0
+ Giả sử có 2 số nhỏ hơn không,tương tự giả sử là a và b ta có
a + b + c > 0 => c > 0 => abc < 0 mâu thuẫn
+ còn a,b,c đều nhỏ hơn 0 thì hiển nhiên a + b + c < 0 mâu thuẫn với a + b + c > 0
Vậy bất buộc cả 3 a,b,c đều phải đồng thời lớn hơn 0
BT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
Đề bài ko đúng bạn.
Với \(a=b=1\) thay vào \(\Rightarrow1+1\ge2\left(1+1\right)\Rightarrow2\ge4\) (sai)
Cách ngắn hơn ( nên làm cách này ) :
Ta có :
\(a>0\)
\(b>0\)
\(\Rightarrow\)\(ab>0\) \(\left(1\right)\)
Lại có :
\(a^2\ge0\)
\(b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2=0\\b^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}}\)
Mà \(a>0\)\(;\)\(b>0\) nên dấu "=" không thể xảy ra
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2>0\) \(\left(2\right)\)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được :
\(a^2+ab+b^2>0\) ( đpcm )
Vậy nếu \(a>0\)\(;\)\(b>0\) thì \(a^2+ab+b^2>0\)
Chúc bạn học tốt ~
đề yêu cầu chứng minh cái gì vậy bạn?