Thu gọn tổng sau:
A= \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
a) Tổng \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên ta có:
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} = \left( {10 - 1} \right) + \left( {100 - 1} \right) + \left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {\underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} - 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) - n\end{array}\)
Tổng \(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:
\(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,s\^o \,\,0} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} = \frac{{10 - {{10}^{n + 1}}}}{{ - 9}} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9}\)
Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n}}{9}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 6 2019
Lời giải:
\(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}}=\sqrt{1+2.\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}-\frac{2}{a}}\)
\(=\sqrt{(1+\frac{1}{a})^2+\frac{1}{(a+1)^2}-\frac{2}{a}}=\sqrt{\frac{(a+1)^2}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}-2.\frac{a+1}{a}.\frac{1}{a+1}}\)
\(=\sqrt{(\frac{a+1}{a}-\frac{1}{a+1})^2}=|\frac{a+1}{a}-\frac{1}{a+1}|=|1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}|\)
b)
Áp dụng công thức trên vào bài toán:
\(B=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}\)
\(=|1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}|+|1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|+....+|1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}|\)
\(=99+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\)
\(=99+1-\frac{1}{100}=100-\frac{1}{100}\)
Y
17 tháng 6 2019
Sai đề nha bn \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\)
\(A=\sqrt{\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)\(=\sqrt{\frac{a^2\left(a+1\right)^2+2a^2+2a+1}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left[a\left(a+1\right)^2\right]+2a\left(a+1\right)+1}{a^2\left(a+1\right)^2}}\) \(=\sqrt{\frac{\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)
\(=\frac{a\left(a+1\right)+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)
Áp dụng kết quả trên ta có :
\(B=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=99+1-\frac{1}{100}=\frac{9999}{100}\)
6 tháng 1 2017
Ta có
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n^2+n}\)(nhân lượng liên hiệp nhé)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài toán ta có
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1.\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
25 tháng 7 2017
=1.1.3.3.5.5...99.99/1.3.3.5.5.7.....99.101
=(1.3.5..99/1.3.5....99).(1.3.5....99/3.5.7...101)
=1.1/101
=1/101
25 tháng 7 2017
=1.1.3.3.5.5...99.99/1.3.3.5.5.7.....99.101
=(1.3.5..99/1.3.5....99).(1.3.5....99/3.5.7...101)
=1.1/101
=1/101
NC
19 tháng 9 2020
Dễ hiểu với cách xét bài toán phụ sau:
Với \(a+b+c=0\) và a,b,c khác 0
Ta có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Thật vậy, ta CM như sau:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{0}{abc}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
=> BT được chứng minh
Áp dụng vào bài chính, ta được:
\(\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-2\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)^2}=1+1-\frac{1}{2}\)
Tương tự:
\(\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
...
\(\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}=1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
Cộng vế lại ta được:
\(BT=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=100-\frac{1}{100}=99,99\)
ta có: \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Rightarrow2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{98}}\)
\(\Rightarrow2A-A=1-\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{2^{99}}\)
Chúc bn học tốt !!!!!!!
\(2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{98}}\)
\(2A-A=1-\frac{1}{2^{99}}\)
\(A=1-\frac{1}{2^{99}}\)
\(A=\frac{2^{99}-1}{2^{99}}\)