Cho a,b,c dương :
CMR : \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2019
Lời giải:
Do $0< a< b< c< 1$ nên $0< ab< ac< bc$
\(\Rightarrow \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}< \frac{a}{ab+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{ab+1}=\frac{a+b+c}{ab+1}(1)\)
Vì $a,b< 1$ nên \((a-1)(b-1)>0\Leftrightarrow ab+1> a+b\)
$c< 1$ nên $1+ab>c$
\(\Rightarrow 2(ab+1)> a+b+c(2)\)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}< \frac{a+b+c}{ab+1}< \frac{2(ab+1)}{ab+1}=2\)
Ta có đpcm.
7 tháng 9 2015
Bài 1:Với a,b,c,d dương
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}<\frac{b}{b+c+d}<\frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}<\frac{c}{a+c+d}<\frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}<\frac{d}{a+b+d}<\frac{d+b}{a+b+c+d}\)
Cộng vế theo vế 4 bất đẳng thức tên ta có:
\(\) 1< A <2 (đpcm)
Bài 2: a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.ta có:
\(\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(đpcm\right)\)
BT
20 tháng 8 2016
- Ta có: \(b.c< b^2+c^2\), Suy ra:
\(\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ac}+\frac{c^2}{c^2+ab}>\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1\).
Vậy: \(\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ac}+\frac{c^2}{c^2+ab}>1\).
- Giả sử \(a\le b\le c.\)Ta có:
\(\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ac}+\frac{c^2}{c^2+ab}< \frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\)
\(=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}=1+\frac{c^2}{c^2+a^2}< 1+\frac{c^2}{c^2}=2\).
Vậy: \(\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ac}+\frac{c^2}{c^2+ab}< 2.\)
Vậy ta chứng minh được:
\(1< \frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ac}+\frac{c^2}{c^2+ab}< 2.\)
Toán lớp 7
cái này dễ để em làm cho:
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
ta có\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{\left(a+b\right)-b}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)-c}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)-a}{c+a}\)
\(=1-\frac{b}{a+b}+1-\frac{c}{b+c}+1-\frac{a}{c+a}\)
\(=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)
đặt E=\(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)
\(>\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\)(1)
\(\Rightarrow E>1\)
\(\Rightarrow3-E< 2\)
CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ \(\frac{A}{A+B}+\frac{B}{B+C}+\frac{C}{C+A}< 1NHƯ\left(1\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)