CMR
1/x + 1/y + 1/z =1/x+y+z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 3 2023
Với a;b;c dương ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
Lại có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)
Áp dụng:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}.9.\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
VV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 6 2020
Do x;y;z là các cạnh của 1 tam giác nên \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-z>0\\y+z-x>0\\z+x-y>0\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{x+z-y}\ge\frac{4}{x+y-z+x+z-y}=\frac{2}{x}\)
Tương tự: \(\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{y+z-x}\ge\frac{2}{y}\) ; \(\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{x+z-y}\ge\frac{2}{z}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{x+z-y}\right)\ge\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{z+x-y}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
19 tháng 4 2022
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2022}\)
\(\Rightarrow\dfrac{yz+zx+xy}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\left(yz+zx+xy\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+3xyz-xyz=0\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-y\) hoặc \(y=-z\) hoặc \(z=-x\).
-Đến đây thôi bạn, câu hỏi sai rồi ạ.
HQ
0
21 tháng 3 2022
từ đề bài ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(3+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{9}{4}\)
<=>\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
ta có \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{3}{4}+\dfrac{z+y}{4x}+\dfrac{x+z}{4y}+\dfrac{x+y}{4z}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(đpcm\right)\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\dfrac{1}{3}\)
Trả lời
Đặt x+y+z=a => a^2x + a^2y + a^2z = a^3 (1)
1/x+1/y+1/z=1/a =>axy + axz + ayz = xyz (2)
(2) - (1):
axy + axz + ayz - a^2x - a^2y - a^2z = xyz - a^3 = 0
<=> axy + axz + ayz - a^2x - a^2y - a^2z - xyz + a^3 = 0
<=> ax(z-a) + ay(z-a) - xy(z-a) - a^2(z - a) = 0
<=>(z-a)( ax + ay - xy - a^2) = 0
<=> (z-a)(x-a)(y-a) = 0
=> z = a hoặc x = a hoặc y = a
cái (1) là từ dâu suy ra vậy ban