Cho \(a\ge10;b\ge100;c\ge1000\) . Tìm GTNN : P = \(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BC
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: \(x+y\ge10\). Tìm GTNN của \(A=2x+y+\dfrac{30}{x}+\dfrac{5}{y}\)
2
9 tháng 3 2021
<=> A = (x+y) + ( 5/x + 5/y) +( 25/x + x)
Xét:
+) x+y >/ 10
+) 5/x + 5/y = 5(1/x+1/y) >/ 5.4/x+y = 2 <=> x=y
+) 25/x + x >/ 2. căn 25/x.x =10
=> A >/ 10+2+10 = 22 <=> (x;y)= (5;5).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 3 2021
\(A=\left(\dfrac{6x}{5}+\dfrac{30}{x}\right)+\left(\dfrac{y}{5}+\dfrac{5}{y}\right)+\dfrac{4}{5}\left(x+y\right)\)
\(A\ge2\sqrt{\dfrac{180x}{5x}}+2\sqrt{\dfrac{5y}{5y}}+\dfrac{4}{5}.10=22\)
\(A_{min}=22\) khi \(x=y=5\)
AY
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 6 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{xy}\)
Đặt \(\sqrt{xy}=t\) thì \(0< t\leq 1\)
\(A=x^4+y^4+8\sqrt{xy}=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+8\sqrt{xy}\)
\(=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+8\sqrt{xy}\)
\(=(4-2xy)^2-2x^2y^2+8\sqrt{xy}\)
\(=16+2x^2y^2-16xy+8\sqrt{xy}=16+2t^4-16t^2+8t\)
Xét \(A-10=6+2t^4-16t^2+8t=2(t-1)(t^3+t^2-7t-3)\)
Với $0< t\leq 1$ thì: \(t-1\leq 0; t^3+t^2-7t-3\leq t+t-7t-3< 0\)
\(\Rightarrow A-10\geq 0\Rightarrow A\geq 10\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
9 tháng 12 2019
Điểm rơi \(\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.Ta UCT:)
Ta bất đẳng thức phụ:
\(\sqrt{7x+9}\ge x+3\) với \(0\le x\le1\)
\(\Leftrightarrow7x+9\ge x^2+6x+9\)
\(\Leftrightarrow7\ge x+6\)
\(\Leftrightarrow x\le1\left(true!!\right)\)
Khi đó ta có:
\(\sqrt{7a+9}\le a+3;\sqrt{7b+9}\le b+3;\sqrt{7c+9}\le c+3\)
\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\le a+b+c+9=10\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=1;b=c=0\) và các hoán vị.
26 tháng 7 2019
Điểm rơi : \(a=10;b=100;c=1000\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
\(A=\frac{a}{100}+\frac{1}{a}+\frac{99a}{100}+\frac{b}{10000}+\frac{1}{b}+\frac{9999b}{10000}+\frac{c}{1000000}+\frac{1}{c}+\frac{999999c}{1000000}\)
\(A\ge2\sqrt{\frac{a}{100a}}+\frac{99\cdot10}{100}+2\sqrt{\frac{b}{10000b}}+\frac{9999\cdot100}{10000}+2\sqrt{\frac{c}{1000000c}}+\frac{999999\cdot1000}{1000000}\)
\(=\frac{1}{5}+\frac{99}{10}+\frac{1}{50}+\frac{9999}{100}+\frac{1}{500}+\frac{999999}{1000}\)
\(=\frac{1110111}{1000}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=10;b=100;c=1000\)
13 tháng 12 2018
số thực ko âm nhé
\(a+b+c=1\Leftrightarrow a;b;c\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\)
\(=\sqrt{a+6a+9}+\sqrt{b+6b+9}+\sqrt{c+6c+9}\)
\(\ge\sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{b^2+6b+9}+\sqrt{c^2+6c+9}\)
\(=\sqrt{\left(a+3\right)^2}+\sqrt{\left(b+3\right)^2}+\sqrt{\left(c+3\right)^2}\)
\(=a+b+c+9=10\left(a;b;c\ge0\right)\)
\("="\Leftrightarrow\)a;b;c là hoán vị (0;0;1)
6 tháng 10 2019
Ta có :
\(P=2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
\(=2a^2+2b^2-\frac{6a}{b}+\frac{6b}{a}+\frac{9}{a^2}+\frac{9}{b^2}\)
\(=\left(\frac{3}{a^2}+3b^2\right)+\left(\frac{3}{b^2}+3a^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\left(2ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-10ab\)
\(=\left(\frac{3}{a^2}+3b^2\right)+\left(\frac{3}{b^2}+3a^2\right)-4-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\left(2ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-10ab\)
Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương ta có :
\(+,\frac{3}{a^2}+3b^2\ge2\sqrt{\frac{3}{a^2}.3b^2}=\frac{6b}{a}\left(1\right)\)
+, \(\frac{3}{b^2}+3a^2\ge2\sqrt{\frac{3}{b^2}.3a^2}=\frac{6a}{b}\left(2\right)\)
\(+,\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{a}{b}}=2\Leftrightarrow6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=12\left(3\right)\)
+, \(ab+ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\sqrt{ab.ab.\frac{1}{a^2}.\frac{1}{b^2}}=1\Leftrightarrow6\left(ab+ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=6\)
+) \(ab\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow10ab\ge10\)
Cộng vế với vế ta có :
\(P\ge10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
14 tháng 4 2018
\(\left\{{}\begin{matrix}ab+ac+bc+bd+cd+da\ge4\sqrt[6]{ab.ac.bc.bd.cd.da}=6.\sqrt{abcd}=6\\a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4.\sqrt{abcd}=4\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
(1) cộng (2) => dpcm
P= \(\left(\frac{a}{100}+\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{b}{10000}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{c}{1000000}+\frac{1}{c}\right)+\frac{99a}{100}+\frac{9999b}{10000}+\frac{999999c}{1000000}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{100}.\frac{1}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{10000}.\frac{1}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{1000000}.\frac{1}{c}}+\frac{99.10}{100}+\frac{9999.100}{10000}+\frac{999999.1000}{1000000}\)
PMin = \(\frac{2}{10}+\frac{2}{100}+\frac{2}{1000}+\frac{99}{10}+\frac{9999}{100}+\frac{999999}{1000}\)
Làm tiếp nhé MỆT RỒI
theo tui nghĩ thì GTNN của P = \(1110\frac{111}{1000}\)