Question

[Thầy Cao Đô]

Cho đường tròn $(O;R)$ và hai đường kính vuông góc $AB, \, CD$. Trên bán kính $AO$ lấy đoạn $AI=\dfrac{2AO}{3}$, vẽ tia $CI$ cắt $(O)$ tại $E$. Tính $R$ theo $CE$

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: AI+IO=AO

=>\(IO=AO-AI=\dfrac{1}{3}R\)

Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

Xét ΔCOI vuông tại O và ΔCED vuông tại E có

\(\widehat{OCI}\) chung

Do đó: ΔCOI~ΔCED
=>\(\dfrac{OI}{ED}=\dfrac{CO}{CD}\)

=>\(\dfrac{\dfrac{1}{3}R}{ED}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(ED=\dfrac{1}{3}R\cdot2=\dfrac{2}{3}R\)

ΔCED vuông tại E

=>\(CE^2+ED^2=CD^2\)

=>\(CE=\sqrt{\left(2R\right)^2-\left(\dfrac{2}{3}R\right)^2}=\sqrt{4R^2-\dfrac{4}{9}R^2}=\sqrt{\dfrac{32}{9}R^2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot R\)