C=(-5;0) hợp (3;5),D=(-1;2 )hợp (4;6)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 8 2018
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\rightarrow\dfrac{5a^5}{5b^5}=\dfrac{c^5}{d^5}=\dfrac{5a^5+c^5}{5b^5+d^5}\)
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
\(\dfrac{a^5}{b^5}=\dfrac{c^5}{d^5}=\dfrac{\left(a+c\right)^5}{\left(b+d\right)^5}\)
nên ta có
\(\dfrac{5a^5+c^5}{5b^5+d^5}=\dfrac{\left(a+c\right)^5}{\left(b+d\right)^5}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Lời giải:
Do $ab+bc+ac=5$ nên:
\(a^2+5=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(b^2+5=b^2+ab+bc+ac=(b+c)(b+a)\)
\(c^2+5=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)\)
Do đó:
\(A=a\sqrt{\frac{(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}{(a+b)(a+c)}}+b\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)(c+a)(c+b)}{(b+c)(b+a)}}+c\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)}{(c+a)(c+b)}}\)
\(=a\sqrt{(b+c)^2}+b\sqrt{(c+a)^2}+c\sqrt{(a+b)^2}=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\)
\(=2(ab+bc+ac)=2.5=10\)
KN
13 tháng 1 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với
\(\left(1-\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\right)+\left(1-\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}\right)+\left(1-\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\right)\le3\)
hay \(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)
Từ \(abc\ge1\) ta có:
\(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{1}{\frac{a^5}{abc}+b^2+c^2}=\frac{1}{\frac{a^4}{bc}+b^2+c^2}\)
\(\le\frac{1}{\frac{2a^4}{b^2+c^2}+b^2+c^2}=\frac{b^2+c^2}{2a^4+\left(b^2+c^2\right)^2}\)
Do \(4u^2+v^2\ge4uv\Leftrightarrow4u^2+v^2\ge\frac{2}{3}\left(u+v\right)^2\)nên
\(2a^4+\left(b^2+c^2\right)^2\ge\frac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
Suy ra \(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{3\left(b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Tương tự ta có \(\frac{1}{b^5+c^2+a^2}\le\frac{3\left(c^2+a^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
và \(\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Cộng ba vế của các BĐT trên ta được
\(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)
Vậy \(\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\ge0\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))
13 tháng 5 2019
Vì vai trò của a,b,c như nhau,không mất tính tổng quát ta có:\(a\le b\le c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\le0\\b-1\le0\\c-1\le0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}\le\frac{a^2}{3\sqrt[3]{a^2b^5c^5}}=\frac{a^2}{3bc}\)
Tương tự:\(\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}\le\frac{b^2}{3ac};\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{c^2}{3ab}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ac}+\frac{c^2}{3ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Xét \(a^3+b^3+c^3\le3\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)+\left(b^3-1\right)+\left(c^3-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c^2+c+1\right)\le0\) (đúng)
Từ đó suy ra:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\le\frac{3}{3}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu '='xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}a=b=c\\abc=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
NH
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 9 2021
Với x;y dương, ta có BĐT:
\(x^5+y^5\ge x^2y^2\left(x+y\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(x^5-x^4y+y^5-xy^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\Rightarrow A\le\dfrac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+ab}+\dfrac{bc}{b^2c^2\left(b+c\right)+bc}+\dfrac{ca}{c^2a^2\left(c+a\right)+ca}\)
\(A\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\dfrac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)
\(A\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}=\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2019
Ta có đánh giá: \(\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}\ge\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^7+2b^7\ge a^7+b^7+a^5b^2+a^2b^5\)
\(\Leftrightarrow a^5\left(a^2-b^2\right)-b^5\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự \(\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}\ge\frac{b^2+c^2}{2}\) ; \(\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\ge\frac{a^2+c^2}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)