Question

[Đặng thùy trâm]

Cho hai điểm a b thuộc(O;3cm)vè tiếp tuyến cắt nhau tại C 

a.chứng minh AC vuông góc với AB 

b.Biết OC = 6 cm Tính các góc của tứ giác AOBC.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Sửa đề: Chứng minh OC\(\perp\)AB

Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CB

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của AB

=>OC\(\perp\)AB

b:

Xét ΔOAC vuông tại A có \(cosAOC=\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AOC}=60^0\)

Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của góc AOB

=>\(\widehat{AOB}=2\cdot\widehat{AOC}=120^0\)

Xét tứ giác OACB có \(\widehat{OAC}+\widehat{OBC}+\widehat{AOB}+\widehat{ACB}=360^0\)

=>\(\widehat{ACB}=360^0-90^0-90^0-120^0=60^0\)

Answer 2

[Lê Như Bảo Nam]

Giải:

a. Chứng minh AC vuông góc với AB:

• Định nghĩa tiếp tuyến: Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm là đường thẳng vuông góc với bán kính đi qua điểm tiếp xúc.
• Áp dụng:
  • AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A.
  • OA là bán kính của đường tròn (O).
  • Theo định nghĩa tiếp tuyến, ta có: AC ⊥ OA.
  • Tương tự, BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B và OB là bán kính của đường tròn (O), nên BC ⊥ OB.
  • Mà OA = OB (cùng là bán kính).
  • Do đó, tứ giác OACB là hình thoi (có 4 cạnh bằng nhau).
  • Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau.
  • Vậy, AC ⊥ AB (đpcm).

b. Tính các góc của tứ giác AOBC:

• Tứ giác AOBC là hình thoi: Như đã chứng minh ở trên.
• Tính góc AOC:
  • Tam giác OAC cân tại O (OA = OC).
  • Gọi H là giao điểm của AC và OB.
  • OH là đường cao đồng thời là đường phân giác của góc AOC (tính chất đường trung trực trong tam giác cân).
  • Ta có: OA = OC = 3cm, OC = 6cm.
  • Suy ra tam giác OAC vuông tại A (định lý Pytago đảo).
  • Do đó, góc AOC = 90°.
• Tính các góc còn lại:
  • Vì AOBC là hình thoi nên:
    • Góc OBC = góc OAC = 90°.
    • Góc ABC = góc ACB (hai góc đối diện trong hình thoi bằng nhau).
  • Mà tổng các góc trong một tứ giác bằng 360°.
  • Nên góc ABC = góc ACB = (360° - 90° - 90°) / 2 = 90°.

Kết luận:

Các góc của tứ giác AOBC là:

• Góc AOC = 90°.
• Góc OBC = 90°.
• Góc ABC = 90°.
• Góc ACB = 90°.

Vậy tứ giác AOBC là hình vuông.