Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA=R\sqrt{2}\). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.
a. Chứng minh ABOC là hình vuông.
b. Chứng minh DE là tiếp tuyến (O;R)
Lời giải:
a) $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ \(\rightarrow AB\perp OB, AC\perp OC\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông:
\(AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{2R^2-R^2}=R\)
\(AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2R^2-R^2}=R\)
Tứ giác $ABOC$ có \(AB=BO=OC=CA=R\) nên là hình thoi.
Mà \(\widehat{OBA}=90^0\) nên suy ra $ABOC$ là hình vuông.
b)
Qua $D$ kẻ tiếp tuyến $DE'$ $(E'\in CA$) của $(O)$, tiếp điểm $K$.
Xét $(O)$, theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau:
\(DB, DK\) là tiếp tuyến của $(O)$
\(\Rightarrow DB=DK\)
\(E'C, E'K\) là tiếp tuyến của $(O)$
\(\Rightarrow E'C=E'K\)
Do đó:
\(P_{ADE'}=AD+DE'+AE'=AD+DK+KE'+AE'\)
\(=AD+DB+E'C+AE'=AB+AC=2R\)
Vậy \(P_{ADE'}=P_{ADE}\Rightarrow E\equiv E'\)
Do đó $DE$ là tiếp tuyến của $(O;R)$
Hình vẽ: