Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác vuông OAB với A chạy trên trục hoành và có hoành độ dương; B chạy trên trục tung và có tung độ âm sao cho OA + OB = 1. Hỏi thể tích lớn nhất của vật thể tạo thành khi quay tam giác OAB quanh trục Oy bằng bao nhiêu? A.
4
π
81
B.
25
π
27
...
Đọc tiếp
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác vuông OAB với A chạy trên trục hoành và có hoành độ dương; B chạy trên trục tung và có tung độ âm sao cho OA + OB = 1. Hỏi thể tích lớn nhất của vật thể tạo thành khi quay tam giác OAB quanh trục Oy bằng bao nhiêu?
Đáp án A
Khi quay ∆ O A B quanh trục Oy, ta được hình nón có bán kính đáy r = OA và chiều cao h = OB. Theo bài ra, ta có OA + OB = r + h = 1 với (0 < r, h < 1)
Khi đó, thể tích khối nón là V N = 1 3 πr 2 h = 1 3 πr 2 1 - r .
Ta có r 2 1 - r 2 = 4 . r 2 . r 2 . 1 - r ≤ 4 . r 2 + r 2 + 1 - r 3 27 = 4 27 ⇒ V N ≤ 1 3 π . 4 27 = 4 π 81 .
Tham khảo: Ta có thể đưa điểm B có tung độ âm về tung độ dương thì thể tích của khối nón không đổi.
Gọi A a ; 0 B 0 ; b a , b > 0 suy ra phương trình đường thẳng A B : x y + y b = 1 ⇒ x = a - a b . y .
Khi đó V O y = π . ∫ a b a - a b y 2 d y = πa 2 b 3 .
Ta có 4 π 3 . a 2 . a 2 . b ≤ 4 π 3 . a 2 + a 2 + b 3 27 = 4 π 81 ⇒ V M a x = 4 π 81 .