Question

[Nguyễn Thị Thảo An]

chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2n-1; 2n; 2n +1 không có số nào chính phương với n= 1.3.5.7...2017

Answer 1

[Gia Bao]

Xét ba số nguyên liên tiếp: \(2 n - 1\), \(2 n\), \(2 n + 1\) với \(n \geq 1\).

• Số \(2 n\): Là số chẵn. Một số chính phương chẵn phải chia hết cho 4. Ta có \(2 n = 2 \times n\). Nếu \(n\) chẵn thì \(2 n\) chia hết cho 4, nhưng nếu \(n\) lẻ thì \(2 n\) chỉ chia hết cho 2. Do đó, \(2 n\) không thể là số chính phương trừ khi \(n\) là số chính phương nhân với 2. Tuy nhiên, cần kiểm tra kỹ hơn.
• Số \(2 n - 1\) và \(2 n + 1\): Đều là số lẻ. Giả sử tồn tại số chính phương trong hai số này. Đặt \(2 n \pm 1 = k^{2}\). Xét modulo 4, số chính phương lẻ có dạng \(4 m + 1\). Do đó, \(2 n \pm 1 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\), suy ra \(2 n \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\) hoặc \(2 n \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\), tương ứng \(n\) chẵn hoặc lẻ. Tuy nhiên, điều này không mâu thuẫn trực tiếp, cần phân tích thêm.

Thực tế, giữa hai số chính phương liên tiếp \(k^{2}\) và \(\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}\), khoảng cách là \(2 k + 1\). Với \(k \geq 1\), khoảng cách này lớn hơn 2 khi \(k \geq 2\), do đó không thể có hai số chính phương cách nhau 2 đơn vị. Vì \(2 n - 1\) và \(2 n + 1\) cách nhau 2 đơn vị nên không thể cùng là số chính phương. Tương tự, \(2 n\) không thể là số chính phương vì nếu \(2 n = k^{2}\), thì \(k\) phải chẵn, đặt \(k = 2 m\), suy ra \(n = 2 m^{2}\). Nhưng khi đó \(2 n - 1 = 4 m^{2} - 1\) và \(2 n + 1 = 4 m^{2} + 1\), không có số nào là chính phương vì \(4 m^{2} + 1\) không phải là số chính phương (trừ \(m = 0\), nhưng \(n \geq 1\)). Vậy cả ba số đều không thể là số chính phương.
</think>

Answer 2

[Gia Bao]

---

Giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích từng số trong dãy

1. Số \(2 n\) (số chẵn):
2. • Giả sử \(2 n\) là số chính phương. Khi đó, \(2 n = k^{2}\) với \(k \in \mathbb{N}\).
   • Vì \(k^{2}\) chẵn nên \(k\) phải chẵn. Đặt \(k = 2 m\), ta có:
     \(2 n = \left(\right. 2 m \left.\right)^{2} = 4 m^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } n = 2 m^{2}\)
   • Thay \(n = 2 m^{2}\) vào các số còn lại:
   • • \(2 n - 1 = 4 m^{2} - 1\)
     • \(2 n + 1 = 4 m^{2} + 1\)
   • Kiểm tra:
   • • \(4 m^{2} - 1\) không phải số chính phương vì nằm giữa \(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right)^{2} = 4 m^{2} - 4 m + 1\) và \(\left(\right. 2 m \left.\right)^{2} = 4 m^{2}\).
     • \(4 m^{2} + 1\) không phải số chính phương vì nằm giữa \(\left(\right. 2 m \left.\right)^{2} = 4 m^{2}\) và \(\left(\right. 2 m + 1 \left.\right)^{2} = 4 m^{2} + 4 m + 1\).
3. Số \(2 n - 1\) và \(2 n + 1\) (số lẻ):
4. • Giả sử \(2 n - 1 = p^{2}\):
   • • Khi đó, \(2 n = p^{2} + 1\). Nếu \(2 n\) không phải số chính phương (theo Bước 1), \(p^{2} + 1\) cũng không thể là số chính phương.
   • Giả sử \(2 n + 1 = q^{2}\):
   • • Tương tự, \(2 n = q^{2} - 1\). Với \(q \geq 2\), \(q^{2} - 1\) không phải số chính phương.

Bước 2: Kết luận

• Cả 3 số \(2 n - 1 , 2 n , 2 n + 1\) đều không thể đồng thời là số chính phương.
• Ví dụ minh họa:
• • Với \(n = 1\): Dãy số \(1 , 2 , 3\) → không có số chính phương.
  • Với \(n = 2\): Dãy số \(3 , 4 , 5\) → chỉ có \(4\) là số chính phương, nhưng \(4 = 2 n\) khi \(n = 2\) (mâu thuẫn với giả thiết). Tuy nhiên, theo phân tích trên, \(2 n = 4\) chỉ xảy ra khi \(n = 2 m^{2}\), và khi đó các số còn lại không phải số chính phương.

Đáp án:
Trong 3 số nguyên liên tiếp \(2 n - 1 , 2 n , 2 n + 1\) với \(n \geq 1\), không tồn tại số nào là số chính phương.