Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;1\right]$ và $f\left(0\right)+f\left(1\right)=0.$ Biết rằng tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\frac{1}{2},\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right).cos\pi xdx=\frac{\pi }{2}.$Tính tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx?$

A.  $\frac{3\pi }{2}.$

B.  $\frac{2}{\pi }.$

C.  $\pi .$

D.  $\frac{1}{\pi }.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Ta có ∫ 0 1 f ' x . c o s π x d x

= ∫ 0 1 c o s π x d f x = f x . c o s π x 0 1 − ∫ 0 1 f x . c o s π x ' d x  

= − f 1 + f 0 + π ∫ 0 1 f x . sin π x d x = π 2 ⇒ ∫ 0 1 f x . sin π x d x = 1 2 .  

Xét ∫ 0 1 f x + k . sin π x 2 d x = 0

⇔ ∫ 0 1 f 2 x d x + 2 k . ∫ 0 1 f x . sin π x d x + k 2 . ∫ 0 1 sin 2 π x d x = 0  

⇔ 1 2 k 2 + 2 k . 1 2 + 1 2 = 0 ⇔ k + 1 2 = 0 ⇔ k = − 1.

Suy ra ∫ 0 1 f x − sin π x 2 d x = 0.  

Vậy f x = sin π x ⇒ ∫ 0 1 f x d x = ∫ 0 1 sin π x d x = 2 π .