tìm GTLN của A=1/(a^3/(b+c) + 1/b^3/(a+c) + 1/c^3/(a+b) biết a,b,c >0; abc=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
P
10 tháng 3 2018
1) Đặt P = (a-1)/a +(b-1)/b+(c-4)/c
Dễ thấy P = 3 - (1/a + 1/b + 4/c)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki :
(1/a + 1/b + 4/c)(a + b + c) <= [căn(1/a).căn a + căn(1/b).căn b + căn(4/c).căn c]^2 = (1 + 1 + 2)^2 = 16
=> 1/a + 1/b + 4/c <= 16/6 = 8/3
Suy ra : P >= 3 - 8/3 = 1/3
Min P = 3 <=> a = b = 3/2 và c = 3
2) Đặt P = (a+1)/[√(a⁴+a+1) -a²] = {(a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]} / (a^4 + a + 1 - a^2) = (a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]/(a + 1) = √(a⁴+a+1) + a² (nhân liên hợp)
Ta có : 4a^2 + a√2 -√2 = 0
=> a^2 = (√2 - a√2)/4 = (1 - a)/(2√2)
=> a^4 = (1 - 2a + a^2)/8
Do đó P = √[(1 - 2a + a^2)/8 + a + 1] + (1 - a)/(2√2) = √[(a^2 + 6a + 9)/8] + (1 - a)/(2√2) = (a + 3)/(2√2) + (1 - a)/(2√2) = √2 (đpcm)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
BM
1
TS
3 tháng 6 2016
Số phần tử của tâp hợp đó là :
100 - 40 + 1 = 61 phần tử
Đáp số : 61 phần tử
26 tháng 6 2017
\(A=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\)
\(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}A=\sqrt[3]{\frac{4}{9}}.\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)\)
\(\le\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=2\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\sqrt[3]{18}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
26 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(A^3=\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)^3\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=9\cdot2\left(a+b+c\right)=9\cdot2=18\)
\(\Rightarrow A^3\le18\Rightarrow A\le\sqrt[3]{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
6 tháng 10 2021
Ta có : a^2+b^2 +c^2 >= ab+bc+ac ==> a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=3(ab+bc+ac) => (ab+bc+ac)<= ((a+b+c)^2)/3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Áp dụng : được Max B = 3 khi a=b=c=1
HT
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
KK
4 tháng 8 2018
Bài 1
\(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}=a-\dfrac{a^2}{a+1}+b-\dfrac{b^2}{b+1}+c-\dfrac{c^2}{c+1}\)
\(=1-\left(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}+\dfrac{c^2}{c+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức \(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}+\dfrac{c^2}{c+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{1}{1+3}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow1-\left(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}+\dfrac{c^2}{c+1}\right)\le1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow GTLN=\dfrac{3}{4}\) Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Bài 2
\(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}\)
Xét \(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+1}+c-\dfrac{a^2c}{a^2+1}\)
Xét \(\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{b^2}{b^2+1}+1-\dfrac{c^2}{c^2+1}+1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\)
\(\Rightarrow P=6-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}+\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số thực dương ta có \(b^2+1\ge2b\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)
Theo hệ quả của bđt Cauchy ta có \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\) \(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số thực dương ta có \(a^2+1\ge2a\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}\le\dfrac{a^2}{2a}=\dfrac{a}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6-\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\right)=3\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=1\)
4 tháng 8 2018
Bài 1 : Ta có : \(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}=\dfrac{a^2}{a^2+a}+\dfrac{b^2}{b^2+b}+\dfrac{c^2}{c^2+c}\)
Theo BĐT CÔ - SI dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{a^2}{a^2+a}+\dfrac{b^2}{b^2+b}+\dfrac{c^2}{c^2+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2+1}\le\dfrac{1}{\dfrac{1}{a+b+c}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+1}=\dfrac{4}{3}\)
Híc híc rối nùi luôn rồi , chắc sai ...