Cho ∆ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. a) Chứng minh ∆ABM = ∆ACM. b) Từ M kẻ MI vuông góc với AB tại I, kẻ MK vuông góc với AC tại K.Chứng minh ∆IMK cân. c) Từ M kẻ đường thẳng song song với AB và cắt AC tại N; AM cắt BN tại G. Giả sử AM = 12cm. Tính AGgiải theo cách lớp...
Đọc tiếp
Cho ∆ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến.
a) Chứng minh ∆ABM = ∆ACM.
b) Từ M kẻ MI vuông góc với AB tại I, kẻ MK vuông góc với AC tại K.
Chứng minh ∆IMK cân.
c) Từ M kẻ đường thẳng song song với AB và cắt AC tại N; AM cắt BN tại G. Giả sử AM = 12cm. Tính AG
giải theo cách lớp 7
a) Do \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) (gt)
\(\Rightarrow M\) là trung điểm của BC
\(\Rightarrow BM=CM\)
Do \(\Delta ABC\) cân tại A (gt)
\(\Rightarrow AB=AC\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(BM=CM\left(cmt\right)\)
\(AM\) là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)
b) Do \(\Delta ABC\) cân tại A (gt)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{IBM}=\widehat{KCM}\)
Xét hai tam giác vuông: \(\Delta IBM\) và \(\Delta KCM\) có:
\(BM=CM\left(cmt\right)\)
\(\widehat{IBM}=\widehat{KCM}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta IBM=\Delta KCM\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow MI=MK\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\Delta IMK\) cân tại M
c) Do \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}+\widehat{CMN}=90^0\)
Do \(MN\) // \(AB\) (gt)
\(\Rightarrow\widehat{CMN}=\widehat{ABC}\) (đồng vị)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{CMN}=\widehat{ACB}\)
Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{CMN}=90^0\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}+\widehat{ACB}=90^0\)
Do \(AM\perp BC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AMC\) vuông tại M
\(\Rightarrow\widehat{MAC}+\widehat{ACM}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MAN}+\widehat{ACB}=90^0\)
Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{ACB}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MAN}=\widehat{AMN}\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại N
\(\Rightarrow AN=MN\) (1)
Do \(\widehat{CMN}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CMN}=\widehat{NCM}\)
\(\Rightarrow\Delta CMN\) cân tại N
\(\Rightarrow MN=CN\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AN=CN\)
\(\Rightarrow N\) là trung điểm của AC
\(\Rightarrow BN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
Mà \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.12=8\left(cm\right)\)