Cho tứ giác $A B C D$. Gọi hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điêm của các đoạn $A D, B C$.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B})$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $M N$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I D}=\overrightarrow{0}$.

Cho \(x,y,z\)là các số dương thỏa mãn \(xyz=1\). Chứng minh: \(x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\).

Cho hình bình hành $A B C D$ tâm $O . \mathrm{M}$ là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$ b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ c) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}$

Cho hình vuông $A B C D$ có tâm là $O$ và cạnh $a . M$ là một điểm bất kỳ. a) Tính $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|,|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{C B}|,|\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}|$ b) Chứng minh rằng $\vec{u}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M D}$ không phụ thuộc vị trí điểm $M$. Tính độ dài vectơ $u$

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B C=30^{\circ}$ và $B C=a \sqrt{5}$.
Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}$ và $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$.

Chứng minh các khẳng định sau:

a) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$.

b) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $|\vec{b}| \geq|\vec{a}|$ thì $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|-|\vec{a}|$. c) $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

Cho 5 điểm $A, B, C, D, E$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{E D}$.

b) $\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{E D}$.

Cho ngũ giác đều $A B C D E$ tâm $O$.

a) Chứng minh rằng: hai vectơ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ và $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{O D}$.

b) Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{E C}$ cùng phương.

c) Chứng minh: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{0}$.

Cho lục giác đều $A B C D E F$ tâm $O$. Chứng minh: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{0}$.