b, ĐK : x > 0; x khác 4

\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}-2}\)

Đặt \(t=\sqrt{\left(x^2+3\right)}\)

\(\Rightarrow t^2=x^2+3\)

\(\Rightarrow\)Phương trình trở thành 

\(7t^2-\left(11x-1\right)t-5\left(x+3\right)=0\)

Delta = \(\left(11x-1\right)+4.7.5\left(x+3\right)>0\forall x\)

'-' Đến đây bạn tìm nghiệm t theo ẩn x sau đó thay \(t=\sqrt{\left(x^2+3\right)}\)để tìm ra đáp án nhé !

Đk x>=0   

A=\(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)=\(\frac{2\sqrt{x}+6-6}{\sqrt{x}+3}\)=\(\frac{2\left(\sqrt{x}+3\right)-6}{\sqrt{x}+3}\)=\(2-\frac{6}{\sqrt{x}+3}\)

Để A nguyên thì \(\frac{6}{\sqrt{x}+3}\)nguyên 

=> 6\(⋮\)\(\sqrt{x}+3\)=>\(\sqrt{x}+3\in\left\{1;2;3;6\right\}\)=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;3\right\}\)vì \(\sqrt{x}\ge0\)

vậy x\(\in\left\{0;9\right\}\)

\(ĐK:x\ge0\)

\(A=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{2\sqrt{x}+6-6}{\sqrt{x}+3}=\frac{2\left(\sqrt{x}+3\right)-6}{\sqrt{x}+3}=2-\frac{6}{\sqrt{x}+3}\)

Để A nguyên thì \(\frac{6}{\sqrt{x}+3}\inℤ\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\inƯ\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\)

lập bảng xét nốt nhé:)

\(\hept{\begin{cases}2x^2+3xy-3y^2=-1\\4x^2-xy=18\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}36x^2+54xy-54y^2=-18\\4x^2-xy=18\end{cases}}\)

\(\Rightarrow40x^2+53xy-54y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(40x-27y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}40x=27y\\x=2y\end{cases}}\)

Từ đây bạn rút thế vào một trong hai phương trình ban đầu giải ra nghiệm. 

a, \(M=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\left(ĐK:x\ge0,x\ne1\right)\)

\(=\frac{x+2+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

b, Thay x = 25 ta tìm được \(M=\frac{5}{31}\)

c, Xét \(M-\frac{1}{3}=\frac{-x+2\sqrt{x}-1}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{-\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

Vậy \(M< \frac{1}{3}\)

d, \(\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2}{7}\)Bạn giải PT rồi tìm ra x nhé

e, Do \(0< M< 1\)nên \(M^2< M\)

a, Với \(x\ge0;x\ne25\)

\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{10\sqrt{x}}{x-25}-\frac{5}{\sqrt{x}+5}\)

\(=\frac{x+5\sqrt{x}-10\sqrt{x}-5\sqrt{x}+25}{x-25}=\frac{x-10\sqrt{x}+25}{x-25}=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\)

b, Thay x = 121 => \(\sqrt{x}=11\)ta được : \(\frac{11-5}{11+5}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)

c, Ta có : \(A=\left|\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\right|=\frac{1}{4}\)

TH1 : \(\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}=\frac{1}{4}\Rightarrow4\sqrt{x}-20=\sqrt{x}+5\Leftrightarrow3\sqrt{x}=25\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{25}{3}\Leftrightarrow x=\frac{625}{9}\)

TH2 : \(\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}=-\frac{1}{4}\Rightarrow4\sqrt{x}-20=-\sqrt{x}-5\Leftrightarrow5\sqrt{x}=15\Leftrightarrow x=9\)

1/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1 

Giải thích các bước giải:

 a,

Gọi E là trung điểm BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AE⊥BC

ABC nội tiếp đường tròn tâm O nên OB=OC=R hay tam giác OBC cân tại O. Suy ra OE⊥BC

Do đó A,O,E thẳng hàng hay AO⊥BC      (1)

DA là tiếp tuyến ngoài tại A của đường tròn nên AD⊥AO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD//BC

Mặt khác theo giả thiết ta có:    AD=BC

Tứ giác ABCD có AD=BC và AD//BC nên ABCD là hình bình hành

b,

ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của AC

OA=OC=R nên O nằm trên trung trực của AC

MA và MC là hai tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (O) nên MA=MC hay M nằm trên trung trực của AC

Suy ra OM là trung trực AC

Do đó OM đi qua trung điểm của AC

Vậy AC,BD, Om đồng quy tại trung điểm của AC