Vì a + b + c = 0 => c = -(a +b)

Ta có: (nhớ thay c = -(a + b))

      \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc\)

    \(=a^3+b^3+\left(a^2+b^2-ab\right)c\)

     \(=a^3+b^3-\left(a^2+b^2-ab\right)\left(a+b\right)\)

      \(=a^3+b^3-a^3-a^2b-b^2a-b^3+a^2b+ab^2\)

        \(=0\)

\(A=x^2y^3-x^3y^2+y^2z^3-y^3z^2-z^3x^2+x^3z^2\)

\(A=\left(x^2y^3-x^2z^3\right)+\left(x^3z^2-x^3y^2\right)+\left(y^2z^3-y^3z^2\right)\)

\(A=x^2\left(y^3-z^3\right)-x^3\left(y^2-z^2\right)-y^2z^2\left(y-z\right)\)

\(A=\left(y-z\right)\left(x^2y^2+x^2yz+x^2z^2-x^3y-x^3z-y^2z^2\right)\)

\(A=\left(y-z\right)\left[\left(x^2y^2-x^3y\right)+\left(x^2yz-x^3z\right)+\left(x^2z^2-y^2z^2\right)\right]\)

\(A=\left(y-z\right)\left[x^2y\left(y-x\right)+x^2z\left(y-x\right)-z^2\left(y^2-x^2\right)\right]\)

\(A=\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(x^2y+x^2z-z^2y-z^2x\right)\)

\(A=\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left[y\left(x^2-z^2\right)+xz\left(x-z\right)\right]\)

\(A=\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(A=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(x+2\sqrt{2x^2}+2x^3=0\\ x+2.\sqrt{2}.x+2x^3=0\\ x+1.x+2x^3=0\\ 2x+2x^3=0\\ 2x\left(1+x^2\right)=0\)

ta thấy \(x^2+1>0\)nên để \(2x\left(1+x^2\right)=0\)thì 2x=0 vậy x=0

\(x+2\sqrt{2x^2}+2x^3=0\)

\(\Rightarrow\)\(x\left(1+\sqrt{2x}+2x^2\right)=0\)

\(x=0\)( 1 ) hoặc \(\left(1+\sqrt{2x}+2x^2\right)=0\)( 2 )

\(2\Leftrightarrow\left(1+\sqrt{2x}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\)\(x=\frac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy \(x=0;x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

Với \(x\ge0\) , phương trình tương đương : \(x+2\sqrt{2}x+2x^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+2\sqrt{2}+2x^2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(n\right)\\2x^2=-1-2\sqrt{2}\left(l\right)\end{cases}}\)

Với x < 0, phương trình tương đương   \(x-2\sqrt{2}x+2x^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-2\sqrt{2}+2x^2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(l\right)\\2x^2=2\sqrt{2}-1\end{cases}}\)

Với \(2x^2=2\sqrt{2}-1\Rightarrow x^2=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}-1}{2}}\left(l\right)\\x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{2}-1}{2}}\left(n\right)\end{cases}}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 hoặc \(x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{2}-1}{2}}\)

 x^4 + 3x^2 - 4x - 12 
= x^3 (x -2) + 3(x - 2)(x +2) +2x(x -2) 
=(x -2)(x^3 + 3x + 6 + 2x) 
= (x -2)(x^3 + 5x + 6 ) 
= (x - 2)(x^3 + x^2 -x^2 - x + 6x + 6) 
= (x -2)[x^2(x+1) -x(x+1)+6(x+1)] 
=(x-2)(x+1)(x^2-x+6)

\(x^4+x^3+3x^2+x.\)

\(=2x^4-x^4+x^2+2x^2+x^3+x\)

\(=2x^2.\left(x^2+1\right)+x.\left(x^2+1\right)-x^2.\left(x^2+1\right)\)

\(=\left(x^2+1\right).\left(2x^2+x-x^2\right)\)

\(=\left(x^2+1\right).x.\left(x+1\right)\)

Ngày đầu tiên đi học, mẹ dắt em tới trường, em vừa đi vừa khóc. Mẹ dỗ dành yêu thương,...” Đó là những cảm xúc đầu tiên của tôi khi chuẩn bị vào lớp một. Khi tôi ngân nga bài hát này thì lòng tôi lại nhớ đến những kỉ niệm đẹp của ngày đầu tiên đi học.

Nhớ lại lúc ấy, cái thuở tôi còn bé xíu cùng mẹ bước chân vào một ngôi trường tiếu học rộng thênh thang. Khi mới vừa bước chân vào trường thì tôi nắm lấy tay mẹ tôi thật chặt chứ không như những lúc ở nhà; đi đâu cùng được và cũng chẳng sợ gi. Có lẽ vì tôi đã quá quen với từng con hèm nhỏ ở nhà tôi nên tôi chẳng sợ gì cả, tôi chạy bỏ mẹ lại thật xa. Vậy mà lúc ấy tôi lại chẳng dám  rời khỏi mẹ dù chỉ một bước. Giờ học bắt đầu, cồng trường đóng lại, tôi bơ vơ trong lớp nhìn ra ngoài cổng xem còn có mẹ không. Tôi như ở một thế giới hoàn toàn khác khi tôi vừa chia tay mẹ. Lúc đó tôi chẳng biết phải làm gì chỉ biết đứng đỏ mà khóc. Và rồi, cô đến bên tôi, cô nắm lấy tay tôi và cô nói ràng: “Đừng sợ, có cô đây” Tôi nghe cô nói, lời nói thật ngọt ngào và dịu dàng biết bao. Tôi cứ ngỡ cô là người mẹ thứ hai của tôi, che chở, quan tâm, chăm sóc và dạy dỗ tôi. Tôi lúc ấy không còn đi chơi như ngày trước nữa mà tôi đã đi học.

Ngày đầu đi học thật khó, tôi chẳng biết gì cả. Tôi chẳng biết cầm bút, chẳng biết sách vở là gì nhưng điều đó chẳng khó gì khi có cô bên cạnh tôi. Cô đã chỉ tôi cách cầm bút, tập cho tôi viết chữ. Và rồi ba tiếng trống trường vang lên, báo hiệu giờ về đã đến. Những bạn khác thì được ba mẹ đón về nhà. Cô cũng về nhà, chỉ còn lại một mình tôi - cậu học trò lớp một cô đơn trong căn phòng lạnh lẽo. Tôi đã khóc, khóc rất to rồi đột nhiên có ai đó khẽ đặt tay lên vai tôi và nói: “Mình về nhà thôi con”, lúc đó  tôi mới nhận ra là mẹ đã ở bên tôi.

Ôi! Sao tôi thương đến thế, sao tôi nhớ đến thế. Cái ngày đầu tiên đi học của tôi. Cái ngày mà tôi có nhiều ki niệm nhất trong tuổi thơ của mình.

          Thời gian trôi qua thật mau. Mới ngày nào em bỡ ngỡ rụt rè vào lớp Một, thế mà nay em đã lên lớp Ba. Dù đã trôi qua mấy năm, nhưng em vẫn nhớ như in ngày đầu tiên đáng yêu đó.

           Ngày đầu tiên em đi học thật vui. Mẹ chuẩn bị cho em, quần áo mới, cặp mới thật xinh xắn. Mẹ dẫn em đến trường. Ôi! Trường thật đẹp, cảnh tượng thật trang trọng. Cô giáo dẫn em đến xếp hàng cùng các bạn để chuẩn bị cho buổi lễ khai giảng năm học mới. Cô giáo rất dịu hiền, cô đã động viên em và các bạn hãy tự tin, mạnh dạn, đoàn kết, thân ái và thi đua học tập. Em rất yêu trường, yêu lớp, yêu bè bạn và yêu cô giáo đầu tiên của mình. 

 

Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

  \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Suy ra:

   \(a+b=2c;b+c=2a;c+a=2b\)

Từ đẳng thức đầu a + b = 2 c  => a = 2c - b thay vào 2 đẳng thức cuối ta có:

   \(b+c=2\left(2c-b\right)\)  và \(c+\left(2c-b\right)=2b\)

=> b = c => a = c

Vậy a = b = c

Khi đó:

  \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

Đề nói a,b,c đôi một khác nhau mà bạn

Hình đa giác TenDaGiac1: DaGiac(B, C, 3) Hình đa giác TenDaGiac1: DaGiac(B, C, 3) Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng J_1: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [N, M] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [Q, M] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [N, P] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [Q, P] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, P] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [M, I] B = (0.52, -5.67) B = (0.52, -5.67) B = (0.52, -5.67) C = (19.2, -5.49) C = (19.2, -5.49) C = (19.2, -5.49) Điểm A: DaGiac(B, C, 3) Điểm A: DaGiac(B, C, 3) Điểm A: DaGiac(B, C, 3) Điểm M: Điểm trên f Điểm M: Điểm trên f Điểm M: Điểm trên f Điểm N: M đối xứng qua h Điểm N: M đối xứng qua h Điểm N: M đối xứng qua h Điểm Q: M đối xứng qua J_1 Điểm Q: M đối xứng qua J_1 Điểm Q: M đối xứng qua J_1 Điểm P: Giao điểm đường của k, l Điểm P: Giao điểm đường của k, l Điểm P: Giao điểm đường của k, l Điểm I: Giao điểm đường của h, m Điểm I: Giao điểm đường của h, m Điểm I: Giao điểm đường của h, m Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm J: Giao điểm đường của J_1, m Điểm J: Giao điểm đường của J_1, m Điểm J: Giao điểm đường của J_1, m Điểm H: Giao điểm đường của J_1, j Điểm H: Giao điểm đường của J_1, j Điểm H: Giao điểm đường của J_1, j

Gọi giao điểm của NP với AB và AC lần lượt là I và J.

Gọi giao điểm của NM với BI là K; của MQ với JC là H.

Theo giả thiết ta suy ra K, H lần lượt là trung điểm của NM và MQ. Hơn nữa ta cũng có  \(NM\perp BI;MQ\perp JC\)

Do NP // MQ mà \(MQ\perp JH\) nên \(NP\perp JH\)

\(\Rightarrow\widehat{AIJ}=90^o-\widehat{BAC}=30^o\)

Vậy nên \(\widehat{NIB}=\widehat{AIJ}=30^o\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{NIK}=90^o-\widehat{NIB}=60^o\)

Xét tứ giác NPQM có NP // MQ; NM // PQ nên NPQM  là hình bình hành. 

Vậy \(\widehat{PQM}=\widehat{INM}=60^o\)

Ta có \(\widehat{BMK}=90^o-\widehat{ABC}=30^o;\widehat{NMI}=\widehat{INM}=60^o;\widehat{CMH}=90^o-\widehat{ACB}=30^o\)

nên \(\widehat{IMH}=180^o-30^o-60^o-30^o=60^o\)

Suy ra \(\widehat{IMH}=\widehat{PQH}\left(=60^o\right)\)

Xét hình thang IPQM có \(\widehat{IMH}=\widehat{PQH}\) nên nó là hình thang cân.

Ta có H là trung điểm MQ, \(JH\perp MQ;JH\perp IP\) nên I là trung điểm IP.

Xét tam giác AIP có AJ là đường cao đồng thời trung tuyến nên AIP là tam giác cân tại A.

Vậy AJ cũng là phân giác hay \(\widehat{JAP}=\widehat{JAI}=60^o\)

Suy ra \(\widehat{JAP}=\widehat{ACB}\left(=60^o\right)\)

Mà chúng lại ở vị trí so le trong nên AP // BC.

A B C M K I N D

a) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC và MN = 1/2 BC

=> MNCB là hình thang

b) MN = 1/2 BC = 1/2 12,5 = 6,25 cm

c) ADBN là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

DN = 2. MN = BC

d) Ta có MN//BK

=> tam giác IMN đồng dạng với tam giác IBK

=> BK/MN = IB/IN = 1/2 => BK = 1/2 MN

Mà MN = 1/2 DN = 1/2 BC

=> BK = 1/2 MN = 1/2 . 1/2 BC = 1/4 BC

=> KC = BC - BK = BC - 1/4 BC = 3/4 BC