Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Có \(a+8⋮a+5\)
\(\Rightarrow\left(a+5\right)+3⋮a+5\)
Do \(a+5⋮a+5\)
\(\Rightarrow3⋮a+5\)
\(\Rightarrow a+5\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
Ta có bảng sau :
| a + 5 | 1 | - 1 | 3 | - 3 |
| a | - 4 | - 6 | - 2 | - 8 |
vậy \(a\in\left\{-4;-6;-2;-8\right\}\)
b, Để 6a + 1 là bội của 3a - 1
\(\Rightarrow6a+1⋮3a-1\)
\(\Rightarrow2\left(3a-1\right)+3⋮3a-1\)
Do \(2\left(3a-1\right)⋮3a-1\)
\(\Rightarrow3⋮3a-1\)
\(\Rightarrow3a-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
Ta có bảng sau :
| 3a - 1 | 1 | -1 | 3 | -3 |
| a | \(\frac{2}{3}\) | 0 | \(\frac{4}{3}\) | \(-\frac{2}{3}\) |
Vậy \(a\in\left\{\frac{2}{3};\frac{4}{3};0;-\frac{2}{3}\right\}\)
\(A=\frac{\left(140\frac{7}{30}-138\frac{5}{12}\right):18\frac{1}{6}}{0,002}\)
\(A=\frac{\left(\frac{4207}{30}-\frac{1661}{12}\right):\frac{109}{6}}{\frac{1}{500}}\)
\(A=\frac{\left(\frac{4207}{30}-\frac{1661}{12}\right)\times\frac{6}{109}}{\frac{1}{500}}\)
\(A=\left(\frac{4207}{30}-\frac{1661}{12}\right)\times\frac{6}{109}\times500\)
\(A=\frac{109}{60}\times\frac{6}{109}\times500\)
\(A=\frac{1}{10}\times500\)
\(A=50\)
\(B=\frac{155-\frac{10}{7}-\frac{5}{11}+\frac{5}{23}}{403-\frac{26}{7}-\frac{13}{11}+\frac{13}{23}}\)
\(B=\frac{5\left(31-\frac{2}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{23}\right)}{13\left(31-\frac{2}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{23}\right)}\)
\(B=\frac{5}{13}\)
\(\frac{1}{1x2}+\frac{1}{3x4}+....+\frac{1}{49x50}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+......+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}\right)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-.....-\frac{1}{50}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}......+\frac{1}{50}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+......+\frac{1}{25}\right)\)
\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+....+\frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)
a) Ta có: a2 = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10
b2 = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6
c2 = a2 – b2 = 25 - 9 = 16 => c = 4
Vậy hai tiêu điểm là : F1(-4 ; 0) và F2(4 ; 0)
Tọa độ các đỉnh A1(-5; 0), A2(5; 0), B1(0; -3), B2(0; 3).
b)
4x2 + 9y2 = 1 <=> x214x214 + y219y219 = 1
a2= 1414 => a = 1212 => độ dài trục lớn 2a = 1
b2 = 1919 => b = 1313 => độ dài trục nhỏ 2b = 2323
c2 = a2 – b2
= 1414 - 1919 = 536536 => c = √5656
F1(-√5656 ; 0) và F2(√5656 ; 0)
A1(-1212; 0), A2(1212; 0), B1(0; -1313 ), B2(0; 1313 ).
c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :
=> x29x29 + y24y24 = 1
Từ đây suy ra: 2a = 6. 2b = 4, c = √5
=> F1(-√5 ; 0) và F2(√5 ; 0)
A1(-3; 0), A2(3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2).
\(T=-\frac{3}{2}\)\(+\)\(\left(\frac{3}{2}\right)^2\)\(-\left(\frac{3}{2}\right)^3\)\(+\left(\frac{3}{2}\right)^4\)\(-...+\left(\frac{3}{2}\right)^{20}\)
\(\frac{3}{2}T=\)\(-\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^3-\left(\frac{3}{2}\right)^4+\left(\frac{3}{2}\right)^5-...+\left(\frac{3}{2}\right)^{21}\)
\(\frac{3}{2}T+T=\)\(-\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^3-\left(\frac{3}{2}\right)^4+\left(\frac{3}{2}\right)^5-...+\left(\frac{3}{2}\right)^{21}\)\(+\left(\frac{-3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^3+\left(\frac{3}{2}\right)^4-...+\left(\frac{3}{2}\right)^{20}\)
\(\frac{5}{2}T=\left(\frac{3}{2}\right)^{21}-\frac{3}{2}\)
\(T=\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{21}-\frac{3}{2}\right\}:\frac{5}{2}\)
Cậu dựa vào phần này nha ♥
S hcn là:
8,13x6,46=52,5198\(\approx\)52,52 cm2
Đ/s:.......
B. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7:
1. Phương pháp 1: ( Hình 1)
Nếu thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
2. Phương pháp 2: ( Hình 2)
Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)
3. Phương pháp 3: ( Hình 3)
Nếu AB a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng
a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước
- tiết 3 hình học 7)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một
đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)
4. Phương pháp 4: ( Hình 4)
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy
thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
Cơ sở của phương pháp này là:
Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,
thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’
Là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:
Phương pháp 1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA
(tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm
D sao cho CD = AB.
Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh
Do nên cần chứng minh
BÀI GIẢI:
AMB và CMD có:
AB = DC (gt).
MA = MC (M là trung điểm AC)
Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:
Mà (kề bù) nên .
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối
tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED
sao cho CM = EN.
Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.
BÀI GIẢI (Sơ lược)
ABC = ADE (c.g.c)
ACM = AEN (c.g.c)
Mà (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên
Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối
của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và
CD.
Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở
phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia
BC lấy điểm F sao cho BF = BA.
Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm
E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)
Gọi M là trung điểm HK.
Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ
Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),
trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.
Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các
đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
PHƯƠNG PHÁP 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên
Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung
điểm BD và N là trung điểm EC.
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2
Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
BÀI GIẢI.
BMC và DMA có:
MC = MA (do M là trung điểm AC)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2)
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia
AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho
D là trung điểm AN.
Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
BÀI GIẢI
AOD và COD có:
OA = OC (vì O là trung điểm AC)
(hai góc đối đỉnh)
OD = OB (vì O là trung điểm BD)
Vậy AOD = COB (c.g.c)
Suy ra: .
Do đó: AD // BC. Nên (ở vị trí đồng vị) hình 8
DAB và CBM có :
AD = BC ( do AOD = COB), , AB = BM ( B là trung điểm AM)
Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // CM. (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2
Baì 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính
AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E
và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A)
Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.
PHƯƠNG PHÁP 3
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh AM BC.
b) Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai
điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được.
- Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC
- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
BÀI GIẢI.
Cách 1. Xử dụng phương pháp 3.
a) Chứng minh AM BC.
ΔABM và ΔACM có:
AB =AC (gt)
AM chung
MB = MC (M là trung điểm BC)
Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: (hai góc tương ứng)
Mà (hai góc kề bù) nên
Do đó: AM BC (đpcm)
b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).
Suy ra: (hai góc tương ứng), mà nên = 900
Do đó: PM BC.
Lập luận tương tự QM BC
Từ điểm M trên BC có AM BC,PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q
thẳng hàng (đpcm)
Cách 2. Xử dụng phương pháp 4.
Chứng minh :
ΔBPA = ΔCPA . Vậy AP là tia phân giác của . (1)
ΔABQ = ΔACQ .Vậy AQ là tia phân giác của . (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng.
PHƯƠNG PHÁP 4
Ví dụ:Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC.
Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm
A và D nằm trong góc xOy.
Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
BÀI GIẢI:
ΔBOD và ΔCOD có:
OB = OC (gt)
OD chung
BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C
cùng bán kính).
Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c).
Suy ra : .
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
Do đó OD là tia phân giác của .
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau.
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
BAÌ TẬP THỰC HÀNH
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN AB (), H là giao
điểm của BM và CN.
a) Chứng minh AM = AN.
b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB
chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông
AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
PHƯƠNG PHÁP 5
Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy
điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN.
Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
Gợi ý: Xử dụng phương pháp 1
Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC)
và vuông tại E và F có:
BM = CN (gt), ( cùng bằng )
Do đó: = (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra: ME = NF.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), ( so le trong
của ME // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ .
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) (hai góc đồng vị)
Mà nên . Vậy ΔMBE cân ở M.
Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được
ME = CN.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
ΔMEK’ và ΔNCK’ có:
(so le trong của ME //AC)
ME = CN (chứng minh trên)
(so le trong của ME //AC)
Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’.
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận
B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là sai
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân ở A , , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác
của góc C sao cho . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa
mặt phẳng bờ BO).
Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau.
BÀI GIẢI
Tam giác ABC cân ở A nên
(tính chất của tam giác cân). Mà CO là tia phân giác của ,
nên . Do đó
ΔBOM đều nên .
Vậy :
ΔBOC và ΔMOC có:
OB = OM ( vì ΔBOM đều)
OC chung
Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)
Suy ra: mà (gt) nên .
Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và nên tia CA và
tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)
Lưu ý: Trong phần này chuyên đề chưa được hoàn chỉnh, thầy cô giáo dạy toán lớp 7 muốn
sử dụng cần viết lại từ phần đặt vấn đề và bổ sung thêm bài tập mới hoàn chỉnh được.
Chúc tất cả chúng ta , những người làm nghề “lái đò” có một ngày 20//11 trọn vẹn.
Chào thân ái.
Thăng Bình –Quảng Nam ngày 20/11/2009
Basan0702
Góc α: Góc giữa A_1, O, A' Góc α: Góc giữa A_1, O, A' Góc α: Góc giữa A_1, O, A' Góc β: Góc giữa A'', A, A' Góc β: Góc giữa A'', A, A' Góc β: Góc giữa A'', A, A' Góc γ: Góc giữa C', B, C_1 Góc γ: Góc giữa C', B, C_1 Góc γ: Góc giữa C', B, C_1 Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [O, A_1] Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [O, A'] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [A, C_1] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [H, A] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [C, K] O = (-2.86, 2.04) O = (-2.86, 2.04) O = (-2.86, 2.04) Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên h Điểm B: Điểm trên h Điểm B: Điểm trên h Điểm C: Giao điểm đường của f, i Điểm C: Giao điểm đường của f, i Điểm C: Giao điểm đường của f, i Điểm H: Giao điểm đường của l, f Điểm H: Giao điểm đường của l, f Điểm H: Giao điểm đường của l, f Điểm K: Giao điểm đường của m, j Điểm K: Giao điểm đường của m, j Điểm K: Giao điểm đường của m, j
a) Ta thấy \(\widehat{xAz}=\widehat{AOC}=70^o\) mà chúng lại ở vị trí đồng vị nên Az // Oy.
b) Do Ax // Oy nên \(\widehat{AOC}\) + \(\widehat{OAz}=180^o\) (hai góc trong cùng phía)
Vậy nên \(\widehat{OAz}=110^o=\widehat{CBz}\)
Chúng lại ở vị trí đồng vị nên Ox // Bt
c) Do góc \(\widehat{KBC}\) và \(\widehat{CBz}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat{KBC}=180^o-110^o=70^o\)
Vậy thì \(\widehat{BCK}=90^o-70^o=20^o\)
d) Ta thấy \(\widehat{HAK}=\widehat{AHO}=90^o\)
Vậy thì \(\widehat{HAK}+\widehat{AKC}=180^o\). Chúng lại ở vị trí trong cùng phía nên AH // CK.