Ta có  \(2\left(a^2+1\right)\ge\left(a+1\right)^2\)

           \(2\left(b^2+1\right)\ge\left(b+1\right)^2\)

          \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=a^2b^2+a^2+b^2+1\)

                                                \(=\left(ab+1\right)^2+\left(a-b\right)^2\)

                                                 \(\ge\left(ab+1\right)^2\)

\(\Rightarrow4\left(a^2+1\right)^2\left(b^2+1\right)^2\ge\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(ab+1\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(ab+1\right)\)

để \(2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(ab+1\right)\)

\(\Rightarrow a=1;b=1\)

đoạn thứ ba không dùng bunhia cho nhanh

\(áp\)\(dụng\)\(BĐT\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(ta\)\(có\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

          \(=\frac{3a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

            \(\ge\frac{3a^2}{b^2+c^2}+2\ge3+2=5\)        

dấu = xảy ra khi \(a^2=2b^22c^2\)

Những bài ntn chúng ta nên nhẩm ngiệm để cô si

ta có A=\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{4b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\)

Áp dụng bđt cô si cho cặp sô thứ 1, cho cặp số thứ 2

Ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}=4\Rightarrow\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\ge3\)

+ hết vào ...=> A>=...

dấu = xáy ra <=> b=c=a=1/căn(2)

<=>0,5x(x-3)-(x-3)(2,5x-4)=0

<=>(x-3)(0,5x-2,5x+4)=0

<=>(x-3)(-2x+4)=0

<=>(x-3)*2(4-x)=0

<=>x-3=0 hoặc 4-x=0

<=>x=3 hoặc x=4

ta có \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}=6\)

Mà \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow6\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow x+2y+3z\ge6\)

MÀ \(y^2+1\ge2y;z^3+1+1\ge3z\)

=> A+3\(\ge\left(x+2y+3z\right)=6\) => A>=3

dấu = xảy ra <=> x=y=z

Giả sử \(0< a\le c\)suy ra \(a^2\le c^2\)

Ta có: \(a^2+b^2>5c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2>5a^2\)

\(\Rightarrow b^2>4a^2\)

\(\Rightarrow b>2a^{\left(1\right)}\)

Lại có: \(c^2\ge a^2\)

\(\Rightarrow b^2+c^2\ge a^2+b^2>5c^2\)

\(\Rightarrow b^2>4c^2\)

\(\Rightarrow b>2c^{\left(2\right)}\)

Cộng (1), (2) 

\(\Rightarrow2b>2a+2c\)

\(\Rightarrow b>a+c\)(vô lí)

\(\Rightarrow c< a\)

CMTT suy ra \(c< b\)

Vậy \(a>c;b>c\)

1, a=ƯCLN(128;48;192)

2, b= ƯCLN(300;276;252)

3, Gọi n.k+11=311  => n.k = 300

         n.x + 13 = 289  => n.x = 276

=> \(n\inƯC\left(300;276\right)\)

4, G/s (2n+1;6n+5) = d  (d tự nhiên)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow6n+5-\left(6n+3\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Vì 2n+1 lẻ => 2n+1 không chia hết cho 2

=> d khác 2 => d=1 => đpcm

5, a,

Ta có ƯCLN(a,b)=6 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a_1.6=a\\b_1.6=b\end{cases}}\) với (a₁;b₁) = 1 

=> a+b = a₁.6+b₁.6 = 6(a₁+b₁) = 72

=> a₁+b₁ = 12 = 1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6 (hoán vị của chúng)

Vì (a₁,b₁) = 1

=> a₁+b₁ = 1+11=5+7

* Với a₁+b₁ = 1+11

+) TH1: a₁ = 1; b₁=11 => a =6 và b = 66

+) TH2: a₁=11; b₁=1 => a=66 và b = 6

* Với a₁+b₁ = 5+7

+)TH1: a₁=5 ; b₁=7 => a=30 và b=42

+)TH2: a₁=7;b₁=5 => a=42 và b=30

Vậy.......

x² - x + 1

= x² - 2.x.\(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\)+ \(\frac{3}{4}\)

= ( x - \(\frac{1}{2}\))² + \(\frac{3}{4}\)\(\ge\)\(\frac{3}{4}\)( vì (x - 1/2)² \(\ge\)0 )

Thực hiện phép chia :

x + ax +b x - x - 1 x + x + (a + 2) x - x - x x + (a+1)x x - x - x (a+2)x +x (a+2)x - (a+2)x - (a+2) (a + 3)x+(a+b+2) 4 4 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2

Vậy để \(x^4+ax^2+b⋮\left(x^2-x-1\right)\) thì \(\left(a+3\right)x+\left(a+b+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+3=0\\a+b+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=1\end{cases}}\)

Vậy a = -3, b - 1.

bạn ơi hình như có chút sai đề