\(\frac{2x+7}{x+1}\)   

\(=\frac{2x+2+5}{x+1}\)   

\(=\frac{2x+2}{x+1}+\frac{5}{x+1}\)   

\(=2+\frac{5}{x+1}\)   

Để 2x + 7 chia hết cho x + 1 thì 5 phải chia hết cho x+ 1 

\(\Rightarrow x+1\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)   

\(x+1=-5\Rightarrow x=-6\)   

\(x+1=-1\Rightarrow x=-2\)   

\(x+1=1\Rightarrow x=0\)    

\(x+1=5\Rightarrow x=4\)   

Vậy x = -6 ; -2 ; 0 ; 4 

2x + 7 \(⋮\) x+1 

Ta có : 2x+7 = 2(x+1) + 5 

mà 2(x+1)  \(⋮\) x+1  để 2x + 7 \(⋮\) x+1 

=> 5\(⋮\) x+1 hay x+1 \(\in\) Ư(5) = {1;-1;5;-5}

Ta có bảng sau 

Vây x\(\in\) {0;-2;4;-6}

Giải : 

Gọi (a,b) = d,a = dm , b = dn, ( m,n ) = 1 ; d , m , n thuộc N*

Ta có : a.b = ( a, b) . [ a,b ]

=> [a,b] = a,b : ( a,b)

Theo đề bài ta có :

[a,b ] + (a,b) = 55

=> a.b : ( a,b) + (a,b) = 55

Thay vào ta có : 

dm.dn = d + d = 55

=> d.mn + d = 55

=> d.( mn + 1 ) = 55

Vì d, m,n thuộc N*, giả sử a > b thì m > n, ta có bảng sau :

Vậy a,b thuộc {(54,1 ) ; (50,5); ( 25,10) ; ( 44,11)}

 Gọi (a,b) = d,a = dm,b = dn, (m,n) = 1; d, m, n thuộc N*

Ta có : a.b= (a,b).[a,b]

=> [a,b] = a.b : (a,b)

Theo đề bài ta có :

[a,b]+(ab)=55

=> a.b : (a,b) + (a,b) = 55

Thay vào ta có :

dm.dn : d + d = 55

=> d.mn + d = 55

=> d.(mn+1) = 55

Vì d,m,n thuộc N* , giả sử a>b thì m>n , ta có bảng sau :

\(ƯCLN=32=2^5\)    

\(2^a=2^a\)    

\(2^{a-b}=2^a:2^b\)

Vì \(2^a>2^{a-b}\)    

Nên để thỏa đề thì ƯCLN bằng chính số bé 

\(2^{a-b}=2^5\)   

\(\Rightarrow a-b=5\)    

\(a=5+b\)

Nếu b là số lẻ thì a là số chẵn là hợp số nên không thỏa mãn đề 

Nếu b là số chẵn thì số a lẻ có thể thỏa đề 

mà b là số nguyên tố nên b = 2 

Vậy b = 2 ; a = 7 

\(\overline{abcd}=100.\overline{ab}+\overline{cd}=108.\overline{ab}-\left(8.\overline{ab}-\overline{cd}\right)=4.27.\overline{ab}-\left(8.\overline{ab}-\overline{cd}\right)\)

\(4.27.\overline{ab}⋮27;\left(8.\overline{ab}-\overline{cd}\right)⋮27\Rightarrow\overline{abcd}⋮27\)

Vì x thuộc Z và -7<x<12

suy ra x thuộc {-6,-5,-4,-3,...,10,11}

vây tổng S các số nguyên x là :

S= -6+(-5)+(-4)+...+10+11

S=(-6+6)+(-5+5)+(-4+4)+...+(-1+1)+0+7+8+9+10+11

S=0+0+...+0+7+8+9+10+11

S=45

x={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

\(\left(2x+4\right)^3=64\)

\(\left(2x+4\right)^3=4^3\)

\(2x+4=4\)

\(2x=4-4\)

\(2x=0\)

\(\Rightarrow x=0\)

\(A=1-2+2^2-2^3+...+2^{2014}\)

\(\Rightarrow2A=2-2^2+2^3-2^4-...+2^{2015}\)

\(2A+A=\left(2-2^2+2^3-2^{\text{4}}+...+2^{2015}\right)+\left(1-2+2^2-2^3+...+2^{2014}\right)\)

\(3A=2^{2015}+1\)

\(\Rightarrow A=\frac{2^{2015} +1}{3}\)

A = 2 + 2²  + 2³ + 2⁴ +...+2¹⁰⁰ 

A = (2 + 2² ) + (2³ + 2⁴ ) + ..+ (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ ) 

A = 2(1+2)  + 2³(1+2) + ...+ 2⁹⁹(1+2)

A = 2.3 + 2³ .3 + ...+ 2⁹⁹.3

A = 3(2+2³ + ...+ 2⁹⁹) \(⋮\) 2

=> đpcm

A= 2+2^2+2^3+2^4+...+2^100
   = 2(1+2)+2^3(1+2)+...+2^99(1+2)
   = 2.3+2^3.3+...+2^99.3
Suy ra A chia hết cho 3.

\(\frac{2n+4}{n+1}\)   

\(=\frac{2n+2+2}{n+1}\)   

\(=\frac{2n+2}{n+1}+\frac{2}{n+1}\)    

\(=2+\frac{2}{n+1}\)   

Để 2n + 4 chia hết cho n + 1 thì 2 chia hết cho n + 1 

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)   

n + 1 = 1 

n = 0 ( nhận ) 

n + 1 = 2 

n = 1 ( nhận ) 

Vậy n = 0 hoặc n = 1 

(2n+4) \(⋮\) n+1

Ta có : 2n+4 = 2(n+1)+2 

Mà 2(n+1) \(⋮\) n+1 để (2n+4) \(⋮\) n+1 

Thì => 2 \(⋮\) n+1 hay n+1 \(\in\) Ư(2)={1;2}

Ta có bảng sau 

Vậy n\(\in\) {0;1}