từ đề bài => 0 < x; y < 2012  và

\(\sqrt{y}=\sqrt{2012}-\sqrt{x}\Rightarrow y=\left(\sqrt{2012}-\sqrt{x}\right)^2=2012+x-2\sqrt{2012}\sqrt{x}=2012+x-4.\sqrt{503.x}\)Vì y nguyên nên \(\sqrt{503.x}\) nguyên => x = 503.k² Mà 0<  x < 2012 =>0<  503. k² < 2012 => 0< k² < 4 => k² = 1

=> x = 503 => y = 2012 + 503 - 4.503 = 503 

Vậy x = y = 503

Ta chứng minh bất đẳng thức sau:  Vơi x.y  >= 0 ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (*)

Thật vậy: (*) <=>  \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y.\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).x\left(1+y^2\right)-\left(y-x\right).y\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).\left(x\left(1+y^2\right)-y\left(1+x^2\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)\left(xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

Luôn đúng vì: x; y > = 1 nên tích x.y > = 1 ....

Áp dụng (*) ta có: 

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{1+xz}\)

\(\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+yz}\)

=> \(2.\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{xz}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{xyz}\right)\)

Vì xy x; y ; z > = 1 nên x.y .z > = x.y ; y.z; z.x

=> \(\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge\frac{3}{1+xyz}\)

tớ mới học lớp 6 

sao tôi toàn gặp 2015 thế nhỉ

Cái này bộ ba pytago nên bạn chỉ cần cm x=2 là đc

\(VT=\frac{a+b-\left(b+d\right)}{d+b}+\frac{\left(d+c\right)-\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(b+a\right)-\left(a+c\right)}{c+a}+\frac{\left(c+d\right)-\left(a+d\right)}{a+d}\)

\(VT=\frac{a+b}{d+b}-1+\frac{\left(d+c\right)}{b+c}-1+\frac{\left(b+a\right)}{c+a}-1+\frac{\left(c+d\right)}{a+d}-1\)

\(VT=\left(a+b\right).\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(d+c\right).\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

Chứng minh đc bđt sau: Với x; y > 0 ta có  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Áp dụng ta có: \(VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{d+b+a+c}+\left(d+c\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\ge\frac{4.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=0\)

=> ĐPCM

Do m ; m + k ; m + 2k là các số nguyên tố > 3 nên m ; m + k; m+ 2k lẻ => m + m + k = 2m + k chẵn => k chẵn => k chia hết cho 2

m là số nguyên tố > 3 => m = 3p + 1 hoặc m = 3p + 2

+ Nêu m = 3p + 1: 

xét k = 3a + 2 => m + k = 3p + 1 + 3a + 2 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + 2k = 3p + 1 + 2.(3a+1) = 3p + 6a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a hay k chia hết cho 3

+ Nếu m = 3p + 2 

xét k = 3a + 2 => m + 2k = 3p + 2 + 6a + 4 = 3p + 6a + 6 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + k = 3p + 2 + 3a + 1 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a

Vậy k = 3a hay k chia hết cho 3 mà k chia hết cho 2 nên k chia hết cho 6 (đpcm)

Do m ; m + k ; m + 2k là các số nguyên tố > 3 nên m ; m + k; m+ 2k lẻ => m + m + k = 2m + k chẵn => k chẵn

=> k chia hết cho 2

m là số nguyên tố > 3 => m = 3p + 1 hoặc m = 3p + 2

+ Nêu m = 3p + 1:

xét k = 3a + 2 => m + k = 3p + 1 + 3a + 2 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + 2k = 3p + 1 + 2.(3a+1) = 3p + 6a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a hay k chia hết cho 3

+ Nếu m = 3p + 2

xét k = 3a + 2 => m + 2k = 3p + 2 + 6a + 4 = 3p + 6a + 6 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + k = 3p + 2 + 3a + 1 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a

Vậy k = 3a hay k chia hết cho 3 mà k chia hết cho 2 nên k chia hết cho 6 (đpcm) 

Nhận xét: 345 và 5y^2 chia hết cho 5 nên 3x^2 chia hết cho 5  => x^2 chia hết cho 5 mà 3x^2 < 345 => x^2 < 345 : 3 = 115

=> x^2 = 25; 100 => y² = 54 hoặc 9 

=> chọn x^2 = 100 và y^2 = 9

=> x = 10 ; -10

y = 3; -3