\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2\sqrt{x-1}\)

\(VT=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}=\left|\sqrt{x-1}-1\right|+\left|\sqrt{x-1}+1\right|\)

Với x > = 0 thì \(VT=\sqrt{x-1}-1+\sqrt{x-1}+1=2\sqrt{x-1}=VP\)

Vậy ta có đpcm 

ta có :

\(\frac{\tan x}{1-\tan^2x}.\frac{\cot^2x-1}{\cot x}=\frac{\frac{1}{\cot x}}{1-\frac{1}{\cot^2x}}.\frac{\cot^2x-1}{\cot x}=\frac{\cot x}{\cot^2x-1}.\frac{\cot^2x-1}{\cot x}=1\)

vậy ta có dpcm

\(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\)

\(\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{8+1}=\sqrt{64}-\sqrt{9}=8-3=5\)

\(\sqrt{16}-\sqrt{81}=4-9=-5\)

\(2\sqrt{27}-\sqrt{75}=6\sqrt{3}-5\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

\(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}-\sqrt{10-1}=\sqrt{81}-\sqrt{9}=9-3=6\)

\(\sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-10\sqrt{3}=-\sqrt{3}\)

\(\sqrt{98}-\sqrt{72}+0,5\sqrt{8}=7\sqrt{2}-6\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

Sai đề rồi

Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn:(x+y)^4=40x+41

Do x, y là số nguyên dương nên 40x < 41x; 41 ≤41y≤41y , khi đó ta có:

( x + y )⁴ = 40x + 41 < 41x + 41y = 41( x + y )

Suy ra ( x + y )⁴ < 41( x + y )

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^3< 41< 64=4^3\)

\(\Rightarrow\)\(x+y< 4\)      ( 1 )

Ta thấy x là số nguyên dương nên  40x + 41\(\ge\) 40 * 1 + 41  = 81

\(\Rightarrow\)  \(\left(x+y\right)^4\ge81\)           

\(\Rightarrow\)\(x+y\ge3\)            ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(3\le x+y< 4\)

Mà ( x + y ∈ N∗) =>  x + y = 3 

Suy ra ( x ; y ) = (1; 2 ) ; ( 2 ; 1 ) ( do x, y là số nguyên dương )

Thử lại chỉ có x = 1 ; y = 2 thỏa mãn

Vậy x = 1 ; y = 2

Ta có: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\)  ; \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Mà \(a^2+b^2+c^2=3abc\)

=>\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}.3\)

=> \(a+b+c\ge3\)

Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có:

\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+6}\)

Đặt \(a+b+c=x\left(x\ge3\right)\)

=> \(M\ge\frac{x^2}{x+6}\)

Xét \(\frac{x^2}{x+6}\ge\frac{5}{9}x-\frac{2}{3}\)

<=>\(x^2\ge\frac{5}{9}x^2+\frac{8}{3}x-4\)

<=>\(\left(\frac{2}{3}x-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

=> \(M\ge\frac{5}{9}x-\frac{2}{3}\ge\frac{5}{9}.3-\frac{2}{3}=1\)

=>\(MinM=1\)xảy ra khi a=b=c=1

\(2\sqrt{5}-\sqrt{125}-\sqrt{80}+\sqrt{605}=2\sqrt{5}-5\sqrt{5}-4\sqrt{5}+11\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{5}\left(2-5-4+11\right)=4\sqrt{5}\)

\(2\sqrt{5}-\sqrt{125}-\sqrt{80}+\sqrt{605}\)

\(=2\sqrt{5}-\sqrt{5.25}-\sqrt{5.16}+\sqrt{5.121}\)

\(=2\sqrt{5}-\sqrt{5}.\sqrt{25}-\sqrt{5}.\sqrt{16}+\sqrt{5}.\sqrt{121}\)

\(=2\sqrt{5}-5\sqrt{5}-4\sqrt{5}+11\sqrt{5}\)

\(=4\sqrt{5}\)