Ta có x² + y² + z² = 6 ; xy - 3x + 2z = 10

Khi đó 4(x² + y² + z²) - 4(xy - 3x + 2z) = 24 - 40

<=> 4x² + 4y² + 4z² - 4xy + 12x - 8z + 16 = 0

<=> (x² - 4xy + 4y²) + (3x² + 12x + 12) + (4z² - 8z + 4) = 0

<=> (x - 2y)² + 3(x + 2)² + 4(z - 1)² = 0

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\x+2=0\\z-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=-2\\z=1\end{matrix}\right.\)

Thay x = -2 ; y = -1 ; z = 1 vào P ta được \(P=\dfrac{1006xy-2019y-x^3+z^5}{x^2+2y^3}\)

\(=\dfrac{1006.(-2).(-1)-2019.(-1)-(-2)^3+1^5}{(-2)^2+2.1^3}\)

\(=\dfrac{2020}{3}\)

\(A=5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+81\)

\(A=4x^2+x^2+9y^2-12xy+32x-48y-8x+16+1+64\)

\(A=(4x^2+9y^2+64-12xy+32x-48y)+\left(x^2-8x+16\right)+1\)

\(A=[\left(2x\right)^2+\left(3y\right)^2+\left(8\right)^2-2.2x.3y-2.3y.8+2.2x.8]+\left(x^2-8x+16\right)+1\)

\(A=\left(2x-3y+8\right)^2\left(x-4\right)^2+1\)

\(Do\) \(\left(2x-3y+8\right)^2\ge0\) \(và\) \(\left(x-4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow A_{min}=1\)

songs : Môi Trường Xanh

              Không Gian Xanh

              Hãy Giữ Hành Tinh Xanh

               We Are The World

              Black or White

films : The Host

           The Crazies

          The Happening

          The Bay

Với k \(\le4\) => không có k thỏa mãn 

Với k > 4 : P = 2^k + 2⁴ + 2⁷ 

 = 2⁴(2^{k - 4} + 2³ + 1)

= 2⁴(2^{k - 4} + 9)

= 16(2^{k - 4} + 9) 

 P chính phương <=> 2^{k - 4} + 9 chính phương

đặt 2^{k - 4} + 9 = y² (y \(\inℕ\))

<=> 2^{k - 4} = (y - 3)(y + 3)  (*)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y-3=2^m\\y+3=2^n\end{matrix}\right.\left(m;n\inℕ\right)\Leftrightarrow2^n-2^m=6\)

<=> 2^m(2^{n - m} - 1) = 6

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}2^m=2\\2^{n-m}-1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=3\end{matrix}\right.\)

khi đó phương trình (*) <=> k - 4 = m + n 

<=> k - 4 = 1 + 3 

<=> k = 8 

Biến đổi đến 6c -5a = b tách b trừ c bằng 5 lần c trừ a suy ra b trừ c chia hết cho 5, 

b >6,a <c lần lượt thay b bằng 7, 8, 9 tìm được c bằng 2, 3, 4 và a băng 1,2,3

Vì a,b,c khác nhau đôi một