a) Xét tam giác ABDABD có CC là trung điểm của cạnh AD \Rightarrow BCAD⇒BC là trung tuyến của tam giác ABDABD.

Hơn nữa G \in BCG∈BC và GB=2 GC \Rightarrow GB=\dfrac{2}{3} BC \Rightarrow GGB=2GC⇒GB=32​BC⇒G là trọng tâm tam giác ABDABD.

Lại có AEAE là đường trung tuyến của tam giác ABDABD nên A, \, G, \, EA,G,E thẳng hàng.

b) Ta có GG là trọng tâm tam giác ABD \Rightarrow DGABD⇒DG là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra DGDG đi qua trung điểm của cạnh ABAB (điều phài chứng minh).

a) Xét tam giác ���ABD có �C là trung điểm của cạnh ��⇒��AD⇒BC là trung tuyến của tam giác ���ABD.

Hơn nữa �∈��G∈BC và ��=2��⇒��=23��⇒�GB=2GC⇒GB=32​BC⇒G là trọng tâm tam giác ���ABD.

Lại có ��AE là đường trung tuyến của tam giác ���ABD nên �,�,�A,G,E thẳng hàng.

b) Ta có �G là trọng tâm tam giác ���⇒��ABD⇒DG là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra ��DG đi qua trung điểm của cạnh ��AB (điều phài chứng minh).

a)Ta có:

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> 1/2 AB = 1/2 AC hay AE = AD

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC(cmt)

góc A chung

AD = AE (cmt)

=> 2Δ bằng nhau

=> BD=CE

b) BD = CE ( cmt )

=> 2/3 BD = 2/3 CE hay GB = GC

=> ΔGBC cân tại G

c) GD+GE = 1/3CD = 1/3CE

Mà BD = CE (cmt)

=> 1/3 BD + 1/3 CE = 2/3 BD = BG

Gọi F là t/đ BC 

=> BF = 1/2 BC

Xét tg BGF vuông tại F ( do tg ABC cân => AF vuông góc Bc ):

BG>BF(ch>cgv)

=> GD + GE> 1/2BC

a,�,

Do CE�� là đường trung tuyến (gt)

→E→� là trung điểm của AB��

Do BD�� là đường trung tuyến (gt)

→D→� là trung điểm của AC��

Có : AE=12AB��=12�� (Do E� là trung điểm của AB��)

Có : AD=12AC��=12�� (Do D� là trung điểm của AC��)

mà AB=AC��=�� (Do ΔABCΔ��� cân tại A�) →12AB=12AC→12��=12��

→AE=AD

Xét ΔADBΔ��� và ΔAECΔ��� có :

AE=AD��=�� (cmt)

AB=AC��=�� (Do ΔABCΔ��� cân tại A�)

ˆA�^ chung

→ΔADB=ΔAEC→Δ���=Δ��� (cạnh - góc - cạnh)

→BD=CE→��=�� (2 cạnh tương ứng)

và ˆABD=ˆACE���^=���^ (2 góc tương ứng)

Có : ˆABD+ˆGBC=ˆABC���^+���^=���^

Có : ˆACE+ˆGCB=ˆACB���^+���^=���^

mà ˆABD=ˆACE���^=���^ (cmt), ˆABC=ˆACB���^=���^ (Do ΔABCΔ��� cân tại A�)

→ˆGBC=ˆGCB→���^=���^

→ΔBGC→Δ��� cân tại G�

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

GD=12GB,GE=12GC��=12��,��=12��

Do đó GD+GE=12BG+12CG=12(BG+CG)��+��=12��+12��=12��+��.

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra GB+GE>12BC��+��>12�� (điều phải chứng minh).

Lời giải:

Gọi số cán bộ y tế của 3 đội lần lượt là $a,b,c$ (người)

Ta có: $a+b+c=37$

Vì số người tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc nên:

$5a=4b=6c$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$5a=4b=6c=\frac{a}{\frac{1}{5}}=\frac{b}{\frac{1}{4}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\frac{37}{\frac{37}{60}}=60$

$\Rightarrow a=60:5=12; b=60:4=15; c=60:6=10$

Một công nhân hoàn thành công việc đó trong số ngày là:

12 x 16 = 192 ( ngày )

Để hoàn thành công việc đó trong 8 ngày cần số công nhân là:

192 : 8 = 24 ( công nhân )

Số công nhân cần bổ sung thêm là:

24 - 16 = 8 ( người)

Kết luận :... 

A B C I E D

a, Xét tam giác ADB và tam giác AEC có :

AE = AD ( gt )

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC ( gt )

=> \(\Delta ADB=\Delta AEC\left(c-g-c\right)\)

b, Do \(\Delta ADB=\Delta AEC\) ( câu a, )

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) ( 2 góc tương ứng )

BD nằm giữa 2 tia EB và EC 

=> \(\widehat{EBD}+\widehat{CBD}=\widehat{B}\)

\(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{B}-\widehat{EBD}\) ( 1 )

CE nằm giữa 2 tia CD và CB 

\(\Rightarrow\widehat{BCE}+\widehat{DCE}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{BCE}=\widehat{C}-\widehat{DCE}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

=> \(\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\) hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

Xét tam giác IBC có 

\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> tam giác IBC cân tại I

c, Xét tam giác AED có :

AE = AD ( gt )

=> Tam giác AED cân tại A

=> \(\widehat{AED}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)( 3 )

Tam giác ABC cân tại A 

=> \(\widehat{B}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\) ( 4 )

Từ ( 3 ) , ( 4) => \(\widehat{AED}=\widehat{B}\)

Đường thẳng AB bị 2 đường thẳng ED và BC cắt tạo thành cặp góc đồng vị bằng nhau \(\widehat{AED}=\widehat{B}\)

=> ED // BC ( đpcm)

Sửa đề bài \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}\)

Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}=k\)

x = 3k , y = 6k

\(xy=3k.6k=18k^2=62\)

\(\Leftrightarrow k^2=\dfrac{31}{9}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\sqrt{\dfrac{31}{9}}\\k=-\sqrt{\dfrac{31}{9}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{\sqrt{31}}{3}\\k=-\dfrac{\sqrt{31}}{3}\end{matrix}\right.\)

TH1 : \(k=\dfrac{\sqrt{31}}{3}\)

x = 3k = \(3.\dfrac{\sqrt{31}}{3}=\sqrt{31}\)

y = 6k = \(6.\dfrac{\sqrt{31}}{3}=2\sqrt{31}\)

TH2 : \(k=-\dfrac{\sqrt{31}}{3}\)

x = 3k = \(3.-\dfrac{\sqrt{31}}{3}=-\sqrt{31}\)

y = 6k = \(6.-\dfrac{\sqrt{31}}{3}=-2\sqrt{31}\)

Vậy các cặp {x,y }là { \(\sqrt{31}\);\(2\sqrt{31}\)} ; { \(-\sqrt{31}\); \(-2\sqrt{31}\)}

Gọi số tờ giấy bạc của 4 gói : 1000 đ , 2000 đ , 5000đ , 10 000 đ là x,y,z,t ( \(x,y,z\in\) N^* ) 

Theo đề bài ta có :

1000x = 2000y = 5000z = 10 000t

\(\Rightarrow\dfrac{1000x}{10000}=\dfrac{2000y}{10000}=\dfrac{5000z}{10000}=\dfrac{10000t}{10000}\)

\(=>\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{2}=\dfrac{t}{1}\) và \(x+y+z+t=900\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{2}=\dfrac{t}{1}=\dfrac{x+y+z+t}{10+5+2+1}=\dfrac{900}{18}=50\)

\(\dfrac{x}{10}=50=>x=500\)

\(\dfrac{y}{5}=50=>y=250\)

\(\dfrac{z}{2}=50=>z=100\)

\(t=50\)

Vậy số tờ giấy bạc của 4 loại 1000 đ , 2000đ , 5000đ , 10000 đ lần lượt là 500 , 250 , 100 , 50 ( tờ )