BĐT đã cho <=> 1 + y \(\ge\) 4.(1 - x).(1 - y).(1 - z)

Áp dụng BĐT :  4ab \(\le\) (a + b)² ta có: 4.(1 - x)(1 - z) \(\le\) (1 - x + 1 - z)² = (1 + y)²

=> 4.(1 - x)(1 - y)(1 - z) \(\le\) (1 + y)².(1 - y) = (1 + y).(1 -y²) \(\le\) (1 + y) .1 = 1+ y => đpcm

Dấu "=" xảy ra khi 1 - y² = 1 và x = z => y = 0 ; x = z = 1/2

A B C E D I

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông ABD có: AB² = BD² - AD² = 9 - 4 = 5 => AB = \(\sqrt{5}\)

BD là phân giác của góc BAC => \(\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}\) => \(\frac{DC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}}\) => DC = \(\frac{2}{\sqrt{5}}\). BC

AC = AD + DC = 2 +  \(\frac{2}{\sqrt{5}}\). BC 

Áp dụng ĐL pia ta go trong tam giác ABC có: AB² + AC² = BC² 

=> 5 + (2 +  \(\frac{2}{\sqrt{5}}\). BC )² = BC²

=> 5 + 4 + \(\frac{8}{\sqrt{5}}\). BC + \(\frac{4}{5}\)BC² = BC²

=> 45 + 8\(\sqrt{5}\). BC - BC² = 0

=> BC = 9\(\sqrt{5}\) => AC = 20 

+) Vì CE là p/g của góc ACB nên \(\frac{AE}{BE}=\frac{AC}{BC}=\frac{20}{9\sqrt{5}}\)=> \(\frac{AE}{BE+AE}=\frac{20}{9\sqrt{5}+20}\Rightarrow\frac{AE}{\sqrt{5}}=\frac{20}{9\sqrt{5}+20}\)

=> AE = \(\frac{20\sqrt{5}}{9\sqrt{5}+20}=\frac{20}{9+4\sqrt{5}}\)

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác ADE có: DE² = AE² + AD² = \(\frac{20^2}{\left(9+4\sqrt{5}\right)^2}+4\)

=> DE =  \(\frac{\sqrt{400+4\left(9+4\sqrt{5}\right)^2}}{9+4\sqrt{5}}=..\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=b+a+\frac{2}{a+b}=\left(\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge2.\sqrt{\frac{a+b}{2}.\frac{2}{a+b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{2}=2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b và (a + b)² = 4 => a = b = 1

Áp dụng BĐT Cauchy 2 số ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{b+c+a}{2a}\) => \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\); \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng từng vế ta được: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi  \(\frac{a}{b+c}=1;\frac{b}{c+a}=1;\frac{c}{a+b}=1\) => a = b + c; b = c+a; c = a+ b 

=> a + b + c = 2(a+ b+c) => a + b + c = 0 (không xảy ra vì a; b; c > 0)

Cần 1 chiếc để đi thui, tính cả bình xăng lẫn xăng máy bay chứa lúc đầu là đủ

9=4.2+1

29=9.3+2

127=29.4+1

quy luật:ta lấy số trước nó nhân với số thứ tự của nó rồi cộng với tính chẵn lẻ của số thứ tự của nó

như vậy ta được số thứ 9 là:1924363

+) Xét n = 2k ( n chẵn) => 2n³; 2n²; 2n đều chia hết cho 4 ; 7 chia 4 dư 3

=> A chia cho 4 dư 3

Mà Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1=> không có số n chẵn nào để A là số chính phương

+) Xét n lẻ : n = 2k + 1

A = 2n .(n² + n + 1) + 7 = 2(2k +1).(4k² + 4k + 1 + 2k + 1+ 1) + 7 = (4k + 2). (4k² + 6k + 3) + 7

= 16k³ + 24k² + 12k + 8k² + 12k + 6  + 7 

= 16k³ + 32k² + 24k + 13 

13 chia cho 8 dư 5 ; 16k³; 32k²; 24k chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5

Mà số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1; 4 ( chứng minh dễ dàng bằng cách xét các trường hợp; 8m; 8m + 1; ..; 8m+ 7)

=> Không có số n lẻ nào để A là số chính phương

Vậy Không tồn tại số nguyên n để A là số chính phương

+) Xét n = 2k ( n chẵn) => 2n³; 2n²; 2n đều chia hết cho 4 ; 7 chia 4 dư 3

=> A chia cho 4 dư 3

Mà Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1=> không có số n chẵn nào để A là số chính phương

+) Xét n lẻ : n = 2k + 1

A = 2n .(n² + n + 1) + 7 = 2(2k +1).(4k² + 4k + 1 + 2k + 1+ 1) + 7 = (4k + 2). (4k² + 6k + 3) + 7

= 16k³ + 24k² + 12k + 8k² + 12k + 6  + 7 

= 16k³ + 32k² + 24k + 13 

13 chia cho 8 dư 5 ; 16k³; 32k²; 24k chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5

Mà số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1; 4 ( chứng minh dễ dàng bằng cách xét các trường hợp; 8m; 8m + 1; ..; 8m+ 7)

=> Không có số n lẻ nào để A là số chính phương

Vậy Không tồn tại số nguyên n để A là số chính phương

ông thọ.....................

uống sữa ông thọ

vì là chữ thọ mà