\(C.\sqrt{2}=\sqrt{8-2\sqrt{7}}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}=\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}=\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1=-2\)

=> \(C=-\sqrt{2}\)

\(D.\sqrt{2}=\sqrt{8-2\sqrt{7}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{7}-1+\sqrt{3}-1\)

=> \(D=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}}\)

\(C=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}.C=\sqrt{2}\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}\sqrt{4+\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{8-2\sqrt{7}}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}-\sqrt{7+2\sqrt{7}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}\)

\(=\sqrt{7}-1-\left(\sqrt{7}+1\right)\)

\(=\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1=-2\)

\(\Rightarrow C=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

\(D=\sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}.D=\sqrt{2}\sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{8-2\sqrt{7}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{7}-1+\sqrt{3}-1\)

\(=\sqrt{7}+\sqrt{3}-2\)

\(\Rightarrow D=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2}\)

\(ĐKx\ge1\)

VT \(\ge\sqrt{1-1}+\sqrt{1+3}+2\sqrt{\left(1-1\right)\left(1^2-3.1+5\right)}=0+2+0=2\)

VP \(\le4-2.1=2\)

=> VT = VP = 2 

Vậy x = 1 

\(17^2-15^2=289-225=64=2^6=4^3=8^2=\)

\(4^3-2^3+5^2=64-8+25=81=3^4=9^2\)

Ta xét số hạng tổng quát có dạng \(\frac{2x+1}{\left(x^2+x+1\right)^2+1}=\frac{2x+1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2x+2\right)}=\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2+1}\). 

Lần lượt cho \(x=0,1,2,\ldots,2012\) rồi cộng lại ta sẽ được kết quả là \(1-\frac{1}{2013^2+1}\)

phân số cuối lớn wa     

x = 1              

Điều kiện: \(2\le x\le6\)

Bình phương cả 2 vế ta được: 

\(x-2+6-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}=x^2-8x+24\)

<=> \(4+2\sqrt{-x^2+8x-12}=x^2-8x+24\) (*)

Đặt \(t=\sqrt{-x^2+8x-12}\left(t\ge0\right)\) => \(t^2=-x^2+8x-12=-\left(x^2-8x+24\right)+12\)

Phương trình (*) trở thành: 4 + 2t = 12 - t²

<=> t² + 2t - 8 = 0

<=> (t +4).(t - 2) = 0 <=> t = 2 hoặc t = -4

t = 2 thỏa mãn

=> -x² + 8x - 12 = 4

<=> -x² + 8x - 16 = 0 <=> -(x - 4)² = 0 <=> x = 4 (thỏa mãn)

Vậy x = 4 là  nghiệm của pt

A B O M H K m n a b x y

Kẻ  MH; MK lần lượt vuông góc với Ox; Oy. Đặt MH = b; MK = a; HA = m; KB = n

+) Tam giác BKM đồng dạng với tam giác MHA (g- g) => BK / KM = MH / HA => n/a = b/ m => ab = m.n

a) S(AOB) = OA.OB/ 2 

Ta có: OA = a + m ; OB = b + n

=> OA. OB = (a + m).(b + n) = ab + an + bm + mn = (ab + mn) + (an + bm)

= 2ab + (an + bm) \(\ge\) 2ab + \(2\sqrt{an.bm}\) = 2ab + \(2\sqrt{\left(ab\right)^2}\) = 4ab = hằng số ( M cố định nên a.b = MK.MH không đổi)

Dấu "=" xảy ra <=> an = bm => (an)² =  an.bm = (ab).(mn) = (mn)² => a = m => H là trung điểm của OA

Vậy S(AOB) nhỏ nhất bằng 4ab khi H là trung điểm của OA

=> Vị trí đường thẳng d: d đi qua M và A, trong đó: A thuộc Ox sao cho H là trung điểm của OA

b) OA + OB = a + m + b + n = (a+ b) + (m + n) \(\ge\) a+ b + \(2\sqrt{mn}\) = a+ b + \(2\sqrt{ab}\) = \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) (vì m.n = ab)

Dấu "=" xảy ra <=> m = n => ab = n²

vậy OA + OB nhỏ nhất bằng \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) khi n² = ab

+) Xác định vị trí của d sao cho n² = ab = KB²

A B O M H K m n a b x y a P D

Cách dựng: 

- Dựng đường tròn đường kính OK 

- Trên đoạn OK , dựng KD = a. Qua D kẻ đường vuông góc với OK cắt đường tròn đường kính OK tại P

- Dựng  đường tròn tâm K , bán kính KP cắt Oy tại B

- Đường thẳng đi qua B và M chính là đường thẳng d cần xác định

Chứng minh: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OPK có: KP² = KD. KO = a.b

Mà KP = KB = n => n² = ab

Vậy....