Vế trái = \(\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{a}{b+c}=3+\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)\)

Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b > c => \(\frac{c}{a+b}<1\) => \(\frac{c}{a+b}<\frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\)

Tương tự, \(\frac{b}{a+c}<\frac{2b}{a+b+c};\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}\)

=> \(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}<\frac{2c+2b+2a}{a+b+c}=2\)

Vế trái < 3 + 2 = 5 

=> đpcm

chào giang hồ đại ca học lớp mấy zậy

a³+a²c-abc+b²c+b³=a²(a+b+c)-a²b-abc+b²c+b³

=a².0+b²(a+b+c)-a²b-abc-b²a

=0+b².0-ab(a+b+c)=0+0-0=0

vậy a³+a²c-abc+b²c+b³=0

a) x⁴ + 4

=x⁴+4x²+4-4x²

=(x²+2)²-4x²

=(x²-2x+2)(x²+2x+2)

b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24

=[(x+2)(x+5)][(x+3)(x+4)]-24

=(x²+7x+10)(x²+7x+12)-24

=(x²+7x+10)[(x²+7x+10)+2]-24

=(x²+7x+10)²+2(x²+7x+10)-24

=(x²+7x+10)²+2(x²+7x+10)+1-25

=(x²+7x+10+1)²-25

=(x²+7x+11)²-25

=(x²+7x+11-5)(x²+7x+11+5)

=(x²+7x+6)(x²+7x+18)

=(x²+x+6x+6)(x²+7x+18)

=[x.(x+1)+6.(x+1)](x²+7x+18)

=(x+1)(x+6)(x²+7x+18)

lưu ý bài b có nhiều cách

****                      

n⁵ - n + 2 = n(n² - 1)(n² + 1)  + 2 = n(n -1)(n +1)(n² + 1) + 2

Vì (n-1)n(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó chia hết cho 3 => n(n -1)(n +1)(n² + 1) + 2 chia cho 3 dư 2

Mà số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 => không có số nguyên n để n⁵ - n + 2 là số chính phương

lam cho minh cau P=3^2n+36n+1 chia het cho 13

Dấu phẩy ở giữa số là dấu thập phân hay chỉ đơn giản ngăn cách số? Ở đây ta hiểu là dấu thập phân, trường hợp khác cách giải tương tự.

Đặt \(a=x+\frac{1}{x},b=y+\frac{1}{y}\to a+b=4,9239.\)

Mặt khác ta có \(a^2-2=x^2+\frac{1}{x^2},b^2-2=y^2+\frac{1}{y^2}\to x^2+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{1}{x^2}=a^2+b^2-4\).

Do đó ta có \(a^2+b^2=12,4648\). Thành thử \(ab=\text{5,889995605}\). Ta có

\(x^3+y^3+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=a\left(a^2-3\right)+b\left(b^2-3\right)=\left(a^3+b^3\right)-3\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab-3\right)\)

\(4,9239\times\left(12,4648-5,889995605-3\right)=\text{17.6019793605405}.\)

đặt \(u=x+\frac{1}{x};v=y+\frac{1}{y}\)

=> u + v = 4,9239

\(x^2+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2-4=u^2+v^2-4=\left(u+v\right)^2-2uv-4=8,4648\)

=> 4,9239² - 2uv - 4 = 8,4648

=> uv \(\approx\) 5,8900

A = \(x^3+\frac{1}{y^3}+y^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)^3-3\left(y+\frac{1}{y}\right)\)

= u³ + v³ - 3(u +v) = (u +v)³ - 3uv.(u +v) - 3(u +v)

Thay uv \(\approx\) 5,8900; u + v = 4,9239 => A =...

\(\left(x^{2007}+y^{2007}\right)\left(x^3+y^3\right)=1.\left(x^3+y^3\right)\)

=> \(x^{2010}+x^3y^{2010}+x^{2010}.y^3+y^{2010}=x^3+y^3\)

=> \(x^3y^3\left(x^{2007}+y^{2007}\right)=x^3+y^3-\left(x^{2010}+y^{2010}\right)\)

Vì \(x^3+y^3=x^{2010}+y^{2010}\Rightarrow x^3+y^3-\left(x^{2010}+y^{2010}\right)=0\)

<=> \(x^3y^3\left(x^{2007}+y^{2007}\right)=0\)

=> x^3 = 0 hoặc y^3 = 0 hoặc x^2007 + y^2007 = 0 

(+) với x^3 = 0 => x = 0 => 0^2007 + y^2007 = 1 => y = 1 

(+) với y^3 = 0 => x = 1 

(+) x^2007 + y^2007 = 0 ( loại tái với đề bài x^2007 + y^2007 =  1 ) 

+> Lấy (x + y + z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz = 1+2xy+2yz+2xz

Mà (x + y + z)^2 = 1

=> 2xy+2yz+2xz = 0

=> xy+yz+xz = 0

=> (xy+yz+xz)(x + y + z) = 0

+> Lấy (x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z = 1 +  6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z 

Mà (x + y + z)^3 = 1

=>  6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z = 0

=> 6xyz + 3(xy^2 + x^2y + x^2z + xz^2 + yz^2 + y^2z) = 0

=> 6xyz + 3[xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z)] = 0

=> 6xyz + 3[xy(1-z) + xz(1-y) + yz(1-x)] = 0

=> 6xyz + 3(xy - xyz + xz - xyz + yz - xyz) = 0

Mà xy+yz+xz = 0

=> 6xyz - 9xyz = 0

=> xyz = 0

Mà (xy+yz+xz)(x + y + z) = 0

=> (xy+yz+xz)(x + y + z) = xyz

=> (xy+yz+xz)(x+y+z) - xyz = 0

Phân tích đa thức trên thành nhân tử, ta có (x+y)(y+z)(x+z) = 0

=> x+y = 0 ; y+z = 0 ; x+z = 0

Có x^2017 + y^2017 + z^2017

= (x+y)(x^2017 -x^2016y+...+y^2017) + z^2017         (1)

= z^ 2017
Có x+y = 0 => x = -y

=> (x + y + z )^2017 = z^2017                                  (2)

Từ (1) và (2) = > x^2017 + y^2017 + z^2017 = (x + y + z )^2017 = 1

x = 1, y= 0

hoặc x = 0, y = 1

mình cũng chẳng biết đúng hay sai