A B M C

(=>) Gọi C là giao của AM và đtr

tam giác ABC nội tiếp đtr đường kính AB => tam giác ABC vuông tại C => góc ACB = 90⁰ => góc MCB = 90^o

=> Tam giác MCB vuông tại C => góc CMB < 90^o  Hay góc AMB < 90^o

(<=) Giả sử M nằm trong đtr 

A B C M

Gọi C là giao của AM và đtr

Tam giác ACB vuông tại C => góc ACB = 90^o

Mà góc AMB là góc ngoài của tam giác MCB tại M => góc AMB > góc MCB = 90^o => Mâu thuẫn với đề bài

Vậy điều giả sử sai => M nằm ngoài đtr

Vậy...

ĐK: |x| > 1/2

=> \(\sqrt{2\left|x\right|-1}=-x\) => - x > 0 => x < 0 => |x| = - x

Bình phương 2 vế ta có: 2(-x) - 1 = (-x) ² => x² + 2x + 1 = 0 => (x+1)² = 0 => x = -1 (Thỏa mãn)

Vậy...

Kéo dài AD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại H'.

Đặt x=HD; 
Vì góc BAC nhọn và do H' đối xứng với H qua BC nên ta có: DH'=HD=x; CH'=CH=30
Áp dụng Pitago cho tg vuông ACH':

AC^2+(CH')^2=(AH')^2 -->AC^2+900=(14+2x)^2 (*)
Mặt khác CD^2= AD.DH' --> CD^2=(14+x).x (**)
trừ 2 vế (*) và (**):

AC^2+900-CD^2 =(14+2x)^2 -(14+x).x (***)
Mà AC^2-CD^2 =AD^2 =(14+x)^2;

Thế vào (***) ta được ph.tr:

(14+x)^2+900 =(14+2x)^2-(14+x)x ---> x^2+7x-450=0
phtr trên có nghiệm x= -25 (loại) và x= 18 (nhận)
AD= 14+x =14+18= 32 cm

(x-1)²=180/5=36

=>x-1=6 (vì x>1)

=>x=7 chứ

Sửa lại: Tìm GTNN

x > 1 nên x - 1 > 0

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : P = \(5\left(x-1\right)+\frac{180}{x-1}+5\ge2\sqrt{5\left(x-1\right).\frac{180}{x-1}}+5=2.30+6=65\)

Dấu "=" xảy ra <=> 5.(x - 1) = 180/(x-1) <=> (x -1)² = 36 => x - 1 = 6 => x = 7

Vậy Min P = 65 khi x = 7

sử dụng hệ quả bun-nhi-a ta có:

VT\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)}\)

mà từ giả thiết , kết hợp với bất đẳng thức , ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)=>\(a+b+c\ge9\)

mặt khác: ab+bc+ca\(\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

=> VT\(\ge\)\(\frac{3\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c+3\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\frac{4\left(a+b+c\right)}{3}}=\frac{a+b+c}{4}\)(dpcm)

kiss_rain_and_you giỏi thật làm được bài này