Ta có: \(\widehat{ABC}=90^0\)

=>B nằm trên đường tròn đường kính AC(1)

Ta có: \(\widehat{ADC}=90^0\)

=>D nằm trên đường tròn đường kính AC(2)

Từ (1),(2) suy ra B,D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC

=>A,B,C,D cùng thuộc đường tròn tâm O, đường kính AC

Xét (O) có

AC là đường kính

BD là dây

Do đó: BD<AC

Xét tứ giác BC'B'C có \(\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}=90^0\)

nên BC'B'C là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>BC'B'C là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC

Xét (O) có

BC là đường kính

B'C' là dây

Do đó: B'C'<BC

Gọi OH là khoảng cách từ O đến dây MN

=>OH\(\perp\)MN tại H

ΔOMN cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của MN

=>\(HM=HN=\dfrac{R}{2}\)

ΔOHM vuông tại H

=>\(OH^2+HM^2=OM^2\)

=>\(OH^2=R^2-\left(\dfrac{R}{2}\right)^2=\dfrac{3R^2}{4}\)

=>\(OH=\sqrt{\dfrac{3R^2}{4}}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

=>Khoảng cách từ O đến dây MN là \(\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

Gọi giao điểm của MN với OA là H

Vì MN\(\perp\)OA tại trung điểm của OA

nên MN\(\perp\)OA tại H và H là trung điểm của OA

Xét ΔOMA có 

MH là đường cao

MH là đường trung tuyến

Do đó: ΔOMA cân tại M

=>MO=MA

mà OM=OA

nên OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

=>\(\widehat{MOA}=60^0\)

Xét ΔMHO vuông tại H có \(sinMOH=\dfrac{MH}{MO}\)

=>\(\dfrac{MH}{10}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(MH=10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

ΔOMN cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của MN

=>\(MN=2\cdot MH=2\cdot5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\left(cm\right)\)

I have never tried sushi