Cho tam giác nhọn ABC . Trên đường trung trực của các cạnh AB, AC,BC kẻ từ trung điểm I,K,L của các cạnh này và phía ngoài cuat tam giác lấy tương ứng các điểm M,N,P sao cho ; \(KN=\frac{1}{2}AC\)\(IM=\frac{1}{2}AB\); \(LP=\frac{1}{2}BC\)Chứng minh rằng: a, IN=IP b, MN=AP c, MN\(\perp\)AP ...
Đọc tiếp
Cho tam giác nhọn ABC . Trên đường trung trực của các cạnh AB, AC,BC kẻ từ trung điểm I,K,L của các cạnh này và phía ngoài cuat tam giác lấy tương ứng các điểm M,N,P sao cho ; \(KN=\frac{1}{2}AC\)\(IM=\frac{1}{2}AB\); \(LP=\frac{1}{2}BC\)
Chứng minh rằng: a, IN=IP b, MN=AP c, MN\(\perp\)AP
a) Ta có : IK = 1/2BC , IL = 1/2AC
=> IK = LP , IL = KN
Mà IK // BC , IL // AC
nên \(\widehat{ILB}=\widehat{C},\widehat{IKA}=\widehat{C}\)(đồng vị)
=> \(\widehat{ILP}=\widehat{IKN}\left(=90^0+\widehat{C}\right)\)
Xét tam giác ILP và tam giác NKI có :
IK = LP (cmt)
IL = KN(cmt)
\(\widehat{ILP}=\widehat{IKN}\)( = 900 + \(\widehat{C}\)) (cmt)
=> tam giác ILP = tam giác NKI(c.g.c)
=> IP = IN(hai cạnh tương ứng)
b) tam giác ILP = tam giác NKI(câu a) nên \(\widehat{IPL}=\widehat{KIN}\)
\(\widehat{KIL}=\widehat{ILB}\)(hai góc so le trong)
Do đó \(\widehat{NIP}=\widehat{NIK}+\widehat{KIL}+\widehat{LIP}=\widehat{LPI}+\widehat{ILB}+\widehat{LIP}=90^0\)
=> \(\widehat{MIN}=\widehat{AIP}\left(=90^0+\widehat{AIN}\right)\)
Xét \(\Delta AIP\) và \(\Delta MIN\) có :
IP = IN (theo câu a)
\(\widehat{MIN}=\widehat{AIP}\left(=90^0+\widehat{AIN}\right)\)
AI = IM
=> \(\Delta AIP=\Delta MIN\left(c.g.c\right)\)
=> MN = AP
c) Gọi giao điểm MN và AP là Q,giao diểm của IN và AP là E
\(\Delta AIP=\Delta MIN\)(câu b) nên \(\widehat{QNE}=\widehat{IPE}\).
\(\widehat{QEN}=\widehat{IEP}\)(đối đỉnh) mà \(\widehat{IEP}+\widehat{IPE}=90^0\)=> \(\widehat{QNE}+\widehat{QEN}=90^0\)=> \(\widehat{EQN}=90^0\)
Vậy AP vuông góc với MN
bài này khó em tài trợ cái hình rồi suy nghĩ lm
A B C I K L N M P