\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1+1+1}{a+b+c}=\dfrac{3}{a+b+c}=\dfrac{3}{1}=3\)

\(\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{a^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=a^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)

\(A=1^3+2^3+3^3+...+n^3\)

Ta chứng minh

\(A=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)

+ Với \(n=3\)

\(1^3+2^3+3^3=36\)

\(\left(1+2+3\right)^2=36\)

=> (1) đúng

+ Giả sử (1) đúng với \(n=k\)

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2\)

+ Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\) Khi đó

\(VT=1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\)

\(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\)

\(=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3=\)

\(=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\)

\(VP=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2=\)

\(=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)}{2}\right]^2=\)

\(\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\)

Như vậy VT=VP nên (1) đúng  với \(n=k+1\)

Theo nguyên tắc của phương pháp quy nạp => (1) đúng

Câu C đúng 

Lời giải:

Gọi số máy cày của 3 đội lần lượt là $a,b,c$.

Vì số máy cày tỉ lệ nghịch với thời gian cày nên:

$4a=6b=8c$; $a-b=1$

Áp dụng TCDTSBN:

$4a=6b=8c=\frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{6}}=\frac{a-b}{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}=\frac{1}{\frac{1}{12}}=12$

$\Rightarrow a=12:4=3; b=12:6=2; c=12:8=1,5$ máy 

Bạn xem lại chứ số máy cày phải là số tự nhiên.

đéo