À mình nhầm 1 chút. Tích \(P=\left(1+1\right)\left(2+1\right)\left(3+1\right)...\left(2023+1\right)\) và do đó nếu \(a_0\) là số cuối cùng trên bảng thì\(\dfrac{1}{a_0}+1=\left(1+1\right)\left(2+1\right)\left(3+1\right)...\left(2023+1\right)\) hay \(a_0=\dfrac{1}{2.3.4...2024-1}\). Vậy số cuối cùng là \(\dfrac{1}{2.3.4...2024-1}\)

 Nếu trên bảng có các số \(a_1,a_2,...,a_n\) thì ta xét tích \(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\). Sau mỗi bước, ta thay 2 số \(a_i,a_j\) bằng số \(a_k=\dfrac{a_ia_j}{a_i+a_j+1}\). Khi đó \(\dfrac{1}{a_k}+1=\dfrac{a_i+a_j+1}{a_ia_j}+1=\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_j}+\dfrac{1}{a_ia_j}+1\) \(=\dfrac{1}{a_j}\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)+\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\) \(=\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_j}+1\right)\)

 Như vậy, sau phép biến đổi ban đầu, tích\(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_k}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\)

\(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_j}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\)

 Là không thay đổi. Vì vậy, số cuối cùng còn lại trên bảng chính là giá trị của tích P. Lại có 

\(P=\left(1+1\right)\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{3}+1\right)...\left(\dfrac{1}{2023}+1\right)\)

\(P=2.\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3}...\dfrac{2024}{2023}=2024\)

Như vậy, số cuối cùng trên bảng sẽ bằng 2024.

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`@` CT tính P của hình thang:

`a + b + c + d` (trong đó, a, b, c, d là các cạnh đáy và cạnh bên của hình thang).

1/2(a+b).2

Gọi 16 số đó là \(p_1,p_2,...,p_{16}\) 

Theo đề bài, ta có \(p_1+p_2+p_3>0\), \(p_4+p_5+p_6>0\), \(p_7+p_8+p_9>0\), \(p_{10}+p_{11}+p_{12}>0\) và \(p_{13}+p_{14}+p_{15}>0\). Do đó \(p_1+p_2+...+p_{14}+p_{15}>0\).

Tương tự, ta có \(p_1+p_2+...+p_{14}+p_{16}>0\)

...

\(p_1+p_3+...+p_{15}+p_{16}>0\)

\(p_2+p_3+...+p_{15}+p_{16}>0\)

Cộng theo vế 16 bất đẳng thức tìm được, ta có \(15\left(p_1+p_2+...+p_{16}\right)>0\) \(\Leftrightarrow p_1+p_2+...+p_{16}>0\) (đpcm)

Để chứng minh rằng tổng của 16 số hữu tỷ khác nhau và khác 0 là số dương, ta sẽ sử dụng phản chứng (proof by contradiction).

Giả sử tổng của 16 số đó không là số dương. Tức là tổng của 16 số đó là số không hoặc số âm.

Đặt tổng của 16 số là S.

Vì 16 số hữu tỷ khác nhau và khác 0, nên ta có thể chia chúng thành 8 cặp số đối xứng: (a₁, a₂), (a₃, a₄), (a₅, a₆), ..., (a₁₅, a₁₆).

Tổng của mỗi cặp số đối xứng là dương vì theo điều kiện đề bài, tổng của 3 số bất kỳ là số dương.

Vậy ta có: S = (a₁ + a₂) + (a₃ + a₄) + (a₅ + a₆) + ... + (a₁₅ + a₁₆).

Giả sử tổng của 16 số đó không là số dương, tức là S ≤ 0.

Vì mỗi cặp số đối xứng có tổng dương, nên ta không thể có trường hợp nào mà S ≤ 0.

Do đó, giả định ban đầu là sai.

Vậy, tổng của 16 số hữu tỷ khác nhau và khác 0 là số dương.

a) \(\left(x-\dfrac{4}{9}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{4}{9}\right)^2=\left(\pm\dfrac{1}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{2}\\x-\dfrac{4}{9}=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{9}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{17}{18}\\x=-\dfrac{1}{18}\end{matrix}\right.\)

b) Mình chưa rõ đề bài cho lắm

Giúp mik với :(((((

Các cạnh bên của hình thang bằng nhau và bằng 45 cm

Chu vi của hinh thang là: (45 + 46 +45 + 66) = 202 (cm)

610 : 202 = 3 (dư 4)

Vậy có thể uốn nhiều nhất 3 mặt bàn

Đáp số: 3 mặt bàn

Đổi 2 m = 200 cm

Nửa chu vi là: 200 : 2  = 100 (cm)

Vì bớt chiều dài đi 20 cm thì được hình thoi nên chiều dài hơn chiều rộng là 20 cm

Gọi chiều rộng là \(x\)  (cm)  \(x\) > 0. Khi đó chiều dài là: \(x\) + 20 (cm)

Theo bài ra ta có phương trình: \(x\) + 20 + \(x\) = 100

   ⇒2\(x\) =  100 - 20 ⇒ 2\(x\) =  80 ⇒ \(x\) = 80: 2⇒ \(x\) = 40

Vậy chiều rộng của hình bình hành là: 40 cm

Chiều dài của hình bình hành là: 40 + 20 = 60 (cm)

Vì hình thoi cũng là hình bình hành nên công thức tính diện tích của hình bình hành cũng là công thức tính diện tích của hình thoi.

Đổi 6 dm² = 600 cm²

Chiều cao của hình thoi là: 600: 40 = 15 (cm)

Chiều cao của hình thoi chính là chiều cao của hình bình hành.

Diện tích hình bình hành là: 60 \(\times\) 15 = 900 (cm²)

Đáp số: 900 cm²

Chọn 900 cm²

Tìm x hả bn?

Ta có: $\left|x-3\right|=\left|4-x\right|\Rightarrow [\begin{array}{c}x-3=4-x\\ x-3=x-4\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}x+x=4+3\\ x-x=-4+3\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{c}2x=7\\ 0x=-1\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}x=3,5\left(TM\right)\\ 0x=-1\left(loại\right)\end{array}$

Vậy x=3,5

Ta có: $\left|x-3\right|=\left|4-x\right|\Rightarrow [\begin{array}{c}x-3=4-x\\ x-3=x-4\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}x+x=4+3\\ x-x=-4+3\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{c}2x=7\\ 0x=-1\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}x=3,5\left(TM\right)\\ 0x=-1\left(loại\right)\end{array}$

Vậy x=3,5

|5.6 - \(x\)| = 4.6

|30 - \(x\)| = 24

\(x< 30\) ⇒ 30 - \(x\) = 24 ⇒ \(x\) =  30 - 24  = -6

\(x>30\) ⇒ -(30 - \(x\)) = 24 ⇒ -30 + \(x\) = 24   ⇒ \(x\) = 24 + 30 = 54

Vậy \(x\) \(\in\) {  -6; 54}

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

\(\left|5\cdot6-x\right|=4\cdot6\)

`\Rightarrow`\(\left|5\cdot6-x\right|=24\)

`\Rightarrow`\(\left[{}\begin{matrix}5\cdot6-x=24\\5\cdot6-x=-24\end{matrix}\right.\)

`\Rightarrow`\(\left[{}\begin{matrix}30-x=24\\30-x=-24\end{matrix}\right.\)

`\Rightarrow`\(\left[{}\begin{matrix}x=30-24\\x=30-\left(-24\right)\end{matrix}\right.\)

`\Rightarrow`\(\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=54\end{matrix}\right.\)

Vậy, `x={6; 54}.`