“Thả diều, thả diều
Ơi con diều giấy tuổi thơ
Thả diều, thả diều
Ơi con diều ấy là ước mơ tuổi thơ tôi.
Bay lên hỡi cánh diều, bay lên vượt núi đồi
Bay cao bay cao nhận gió muôn phương...”
Lời bài hát “Thả diều” của Nguyễn Quang Thắng ngân vang mãi trong lòng người nghe giống như cánh diều vi vu trong gió. Thả diều tự bao giờ đã trở thành một trò chơi dân gian quen thuộc không chỉ đối với trẻ con mà còn đối với nhiều người ở lứa tuổi khác nhau.

Thú thả diều có nguồn gốc từ nghệ thuật làm mo vào thời cổ đại của người Trung Quốc cách đây 2800. Vào thời cổ đại, cứ mỗi dịp tết Thanh Minh đến, sau khi đã làm lễ cúng bái tổ tiên, người dân Trung Quốc đều có phong tục thả diều. Người xưa cho rằng, thả diều có thể xua đuổi tà khí và những điều rủi ro, xúi quẩy. Không những vậy diều còn được các nhà sư dùng với ý nghĩa cầu sự yên bình tốt lành, do đó mỗi lần diều rơi các nhà sư đều làm lễ cúng bái để xua đuổi tà khí và cầu an.

Thú thả diều đã du nhập vào nước ta, và được nhiều người đón nhận. Hình ảnh những chú bé ngồi vắt vẻo trên lưng trâu thả diều đã trở thành hình ảnh quen thuộc của làng quê Việt Nam.

Diều được làm từ nhiều chất liệu khác nhau như giấy, vải, nilon. Nhưng được ưa chuộng nhất là nilon bởi nhờ vào chất liệu này, không những làm được những cánh diều nhiều hình dạng và màu sắc mà còn bền lâu theo thời gian. Tuy nhiên vẫn có những cô bé, cậu bé thích làm diều bằng giấy vì chúng có thể tận dụng giấy đã qua sử dụng, vừa tiết kiệm lại có thể thỏa sức sáng tạo.

Diều được làm theo nhiều hình dạng khác nhau tùy theo sở thích của mỗi người. Có cánh diều hình lưỡi liềm, có cánh diều hình hộp, hình tròn, hình vuông, cũng có những cánh diều được tỉ mỉ thiết kế theo hình những chú bướm, chú chim, hình rồng, hình người.

Tự tay làm một cánh diều giấy không khó nhưng đòi hỏi người làm cần tỉ mỉ, chau chuốt và kiên nhẫn. Đầu tiên cần dùng dao vuốt hai nan tre tròn, kích thước nhỏ nhưng phải dẻo để tránh bị gẫy. Đặt hai nan tre vào một tờ giấy tạo thành hai đường chéo, cố định bằng hồ hoặc băng dính và cắt phần còn thừa của nan tre. Cắt năm tờ giấy có chiều dài 30cm và chiều rộng 5cm. Sau đó dán chúng lại với nhau thành ba dây dài với hai dây dài 50cm và một dây dài 80cm. Đặt phần thân diều vừa làm thành hình thoi rồi dán đuôi diều vào. Đuôi dài nhất dán vào góc giữa, hai đuôi còn lại dán vào hai bên. Lấy một đoạn dây dài 10cm buộc vào thanh nan thẳng đứng. Buộc hai đầu dây sao cho nốt buộc đầu trên dài hơn về phía đầu diều. Vậy là đã hoàn thành xong chiếc diều hình thoi. Ngày nay, công nghệ càng hiện đại, thì những chiếc diều thủ công cũng được thay bằng những chiếc diều làm từ máy móc. Tuy mẫu mã đa dạng và bắt mắt hơn nhưng tự tay làm một chiếc diều vẫn là một kỉ niệm khó quên.

Diều bay được là nhờ sức gió cho nên cần lựa chọn địa điểm thả diều cho phù hợp. Đó có thể là bãi đất trống, bãi cỏ nơi có nơi có đất bằng rộng rãi; không vướng cây cối; không vướng đường dây điện; xa lối đi lại và đặc biệt, nơi đó phải có gió. Lũ trẻ quê thích nhất là được thả diều giữa cánh đồng lúa bát ngát mênh mông hay chiều chiều được thả hồn mình trên những triền đê lộng gió. Tiếng sáo diều vi vu, vi vu cùng với tiếng nô đùa giòn tan họa nên một bức tranh đồng quê yên ả, thanh bình và đầm ấm.

Diều có thể thả được do một hoặc hai người. Khi có hai người thả diều thì một người cầm diều, một người cầm cuộn dây. Khi thả đứng ngược chiều gió, hướng mũi diều lên trời chếch 45 độ. Khi có gió thả diều nhẹ nhàng cho thật cân, người cầm dây giật nhẹ để nâng diều lên và từ từ thả dây dài ra cho diều lên cao. Còn đối với diều một người thả thì cũng thực hiện như quy trình hai người nhưng người thả phải đảm nhiệm luôn nhiệm vụ cầm cuộn dây của người kia.
Ở Việt Nam, vào những dịp lễ Tết, người dân lại tổ chức những trò chơi dân gian như đấu vật, kéo co, chèo thuyền, và đặc biệt không thể thiếu trò chơi thả diều. Những cánh diều đủ màu sắc sải rộng trên bầu trời rộng lớn với niềm mong ước về một cuộc sống đủ đầy, hạnh phúc.

Thả diều mãi mãi là thú vui của nhiều người. Ngày nay, xã hội đã phát triển, nhiều trò chơi vì thế cũng ra đời dần thay thế cho những trò chơi dân gian. Vì thế mọi người cần chung tay gìn giữ những giá trị truyền thống của dân tộc nói chung và những trò chơi dân gian nói riêng, đặc biệt là trò chơi thả diều

cảm ơn bạn

Trên đất nước Việt Nam có rất nhiều danh lam thắng cảnh đẹp như là: Hồ Hoàn Kiếm, Văn Miếu, Bến Nhà Rồng,… Nhưng có một nơi rất nổi tiếng ở quê hương tôi đó là Vịnh Hạ Long ở Quảng Ninh.

Vịnh Hạ Long là một tuyệt tác đã có từ rất lâu do thiên nhiên tạo thành. Vịnh có rất nhiều hang động, có động nước và động khô. Bên trong những hang động có rất nhiều đá vôi. Ngoài ra, còn có rất nhiều đảo và cồn đá. Để đi ra được những hang động đó bạn cần phải đi xuồng hoặc đi bằng thuyền. Mặt nước ở Vịnh Hạ Long rất đẹp. những làn sóng nhẹ nhàng đánh vào bờ tạo nên một khung cảnh thơ mộng khi bạn đứng ngắm Vịnh Hạ Long. Chiều về bạn có thể thấy hoàng hôn từ phía xa chiếu lên mặt nước như đang có đến tận hai mặt trời. Vì thế, mà Vịnh Hạ Long đã được UNESCO công nhận là di sản văn hoá thế giới.

Hằng năm, hàng ngàn người khắp thế giới đi đến Vịnh Hạ Long đế du lịch. Vịnh Hạ Long đã thu hút du khách trên khắp thế giới. Vịnh Hạ Long được coi là cái nôi của nước Việt Nam về nền lịch sử khảo cổ lâu đời. Ngoài ra, Vịnh Hạ Long còn có những hòn và tập trung nhiều động vật và thực vật quý hiếm. Có nhiều khu lịch sinh thái với hàng ngàn động vật dưới nước phong phú. Tên gọi của Vịnh Hạ Long đã thay đổi qua rất nhiều thời kì lịch sử, thời Bắc thuộc được gọi là Lục Châu Lục Hải sau đó được người Pháp gọi là Vịnh Hạ Long từ đó và phổ biến đến ngày nay.

Từ trên cao nhìn xuống, Vịnh Hạ Long như một bức tranh tuyệt hảo do thiên nhiên tạo thành gồm có những hang động và những hòn. Bên trong là những hang động người ta có thể tham quan, ngắm cảnh. Có những thạch nhũ có hình thù kì lạ do thiên nhiên tạo ra bên trong hang. Vịnh Hạ Long nhìn từ xa thấy như những người lính khổng lồ canh giữ biển Việt Nam. Mỗi buổi sảng, những chú chim én lại đi kiếm mồi và cho con người tổ của mình để có thể bồi dưỡng cơ thể. Vịnh Hạ Long nhiều lần cũng đã trở thành địa điểm lý tưởng của các nhà làm phim và các diễn viên.

Tuy nhiên, bên cạnh đó cũng có những trường hợp vút rác bừa bãi làm ô nhiễm môi trường làm mất đi nét đẹp văn hoá của Việt Nam. Để đảm bảo mọi người không vứt rác bừa bãi cùng đã có những thùng rác đổ bỏ vào. Người ta còn làm sạch nước sông và cọ rửa các hòn đảo.

Vịnh Hạ Long đúng là một cảnh đẹp thiên nhiên trên thế giới. Tôi tự hào là một người ở Quảng Ninh và sở hữu một cảnh đẹp thiên nhiên thế giới. 

Nước ta có nhiều danh lam thắng cảnh nổi tiếng. Trong số đó không thể không kể đến Hạ Long. Đó là một kiệt tác của thiên nhiên, được công nhận là một di sản văn hóa thế giới. Người Việt Nam ta tự hào vì được sở hữu một danh lam thắng cảnh đẹp như vậy.

Vịnh Hạ Long là một vịnh nhỏ thuộc phần bờ Tây vịnh Bắc Bộ tại khu vực biển Đông Bắc Việt Nam, thuộc địa phận tỉnh Quảng Ninh. Vịnh Hạ long được hình thành do sự vận động của đá và nước, là một tác phẩm nghệ thuật địa lí được hoàn thành sau hàng triệu năm biến đổi của địa chất. Vịnh Hạ Long giới hạn trong diện tích khoảng 1.553km² bao gồm 1.960 hòn đảo lớn nhỏ, phần lớn là đảo đá vôi.

Nói đến vịnh Hạ Long, trước hết phải nói đến vẻ đẹp thần tiên của non nước mây trời nơi đây. Từ trên cao nhìn xuống, vịnh Hạ Long như một bức tranh thuỷ mặc khổng lồ vô cùng sống động. Đó là những tác phẩm tạo hình tuyệt mỹ, tài hoa của tạo hoá, của thiên nhiên biến hàng ngàn đảo đá vô tri tĩnh lặng kia trở nên những tác phẩm điêu khắc, hội họa hoàn mỹ với muôn hình dáng vẻ yêu kiều. Hàng ngàn đảo đá nhấp nhô trên sóng nước lung linh huyền ảo, vừa khoẻ khoắn hoành tráng nhưng cũng rất mềm mại duyên dáng, sống động. Đi giữa Hạ Long với muôn ngàn đảo đá, ta ngỡ như lạc vào một thế giới cổ tích bị hoá đá nơi đây. Đảo thì giống hình ai đó đang hướng về đất liền – hòn Đầu Người; đảo thì giống như một con rồng đang bay lượn trên mặt nước – Hòn Rồng; đảo thì lại giống như một ông lão đang ngồi câu cá – hòn Lã Vọng; và kia hai cánh buồm nâu lực lưỡng đang rẽ sóng nước ra khơi – hòn Cánh Buồm; rồi hai con gà đang âu yếm vờn nhau trên sóng nước – hòn Trống Mái; đứng giữa biển nước bao la một lư hương khổng lồ như một vật cúng tế trời đất – hòn Lư Hương… Tất cả đều rất thực, thực đến kinh ngạc. Những đảo đá diệu kỳ ấy biến hoá khôn lường theo thời gian và góc nhìn. Tới đây ta mới nhận ra tất cả chúng không phải là những hòn đảo vô tri tĩnh lặng mà như có hồn và đều sống động.

Tiềm ẩn trong lòng các đảo đá ấy là những hang động tuyệt đẹp như động Thiên Cung, hang Đầu Gỗ, động Sửng Sốt, hang Trinh Nữ, động Tam Cung… Đó thực sự là những lâu đài của tạo hoá giữa chốn trần gian. Từ xưa, Hạ Long đã được đại thi hào dân tộc Nguyễn Trãi mệnh danh là “kỳ quan đất dựng giữa trời cao”. Du khách từ khắp năm châu khi đặt chân đến đây đều cảm thấy vô cùng thích thú trước vẻ đẹp kỳ vĩ của Hạ Long. Biển ở đây còn mang một vẻ đẹp rất riêng khi hoàng hôn buông xuống. Mặt vịnh lúc này được nhuộm một sắc màu đỏ rực của những tia nắng cuối cùng. Cảnh sắc quyện lại dệt nên những gam màu tuyệt diệu. Khi màn đêm buông xuống, vào những đêm trăng, mặt nước như được dát bạc quyện với màu sẫm của những đảo đá mờ xa khiến cho vịnh Hạ Long trở nên huyền ảo như thật như mơ.

Hùng vĩ và bí ẩn, đầy cảm hứng và vô cùng độc đáo , vịnh Hạ Long thật xứng đáng là một trong những kỳ quan thiên nhiên đẹp nhất. Những hòn đảo nhỏ như được chấm lên trên nền xanh ngọc của biển, cùng theo đó là những hang động kỳ bí được tạo nên bởi sóng và gió, những cánh rừng xanh biếc rộn rã tiếng chim hót, thật kỳ ảo. Sương mù có thể làm cho tầm nhìn bị hạn chế nhưng lại góp phần làm cho vịnh Hạ Long thêm lung linh kỳ ảo. Ta đang ngỡ ngàng trước cảnh vật thơ mộng này, thoắt đã hiện lên cảnh vật khác, mới lạ và đầy vẻ quyến rũ. Các ngõ ngách lúc khép, lúc mở, lúc là hành lang thẳng tắp lung linh nước trời, lúc uốn lượn dưới chân những quả núi cao vút đổ bóng râm huyền bí xuống mặt nước yên ắng. Có khi thuyền ta đang đi, bỗng nhiên một dãy đảo sừng sững vụt hiện lên trước mặt, chắn ngang lạch nước, ngỡ đã cùng đường. Như­ng không, khi thuyền ta l­ướt tới, dãy đảo như­ né mình, mở ra các lối ngoặt bất ngờ dẫn ta đi sâu vào rừng đảo vừa quen thuộc lại vừa xa lạ. Cảnh vật của biển đảo Hạ long thoắt ẩn,thoắt hiện, với sự biến đổi chừng như­ giây lát đã làm cho biết bao du khách ngạc nhiên, say đắm.

Hạ Long cũng là nơi gắn liền với những trang sử vẻ vang, hào hùng của dân tộc Việt Nam với những địa danh nổi tiếng như Vân Đồn – nơi có thương cảng cổ sầm uất vào thế kỷ thứ 12; có núi Bài Thơ lịch sử; cách đó không xa dòng sông Bạch Đằng – là chứng tích của hai trận thuỷ chiến lẫy lừng của các thế hệ ông cha chống giặc ngoại xâm. Không chỉ có vậy, Hạ Long còn là một trong những cái nôi của con người với nền Văn hoá Hạ Long huy hoàng thời Hậu kỳ đồ đá mới tại những địa danh khảo cổ học nổi tiếng như Đồng Mang, Xích Thổ, Soi Nhụ, Thoi Giếng… Hạ Long cũng là nơi tập trung đa dạng sinh học cao với những hệ sinh thái điển hình như hệ sinh thái rừng ngập mặn, hệ sinh thái san hô, hệ sinh thái tùng áng, hệ sinh thái rừng cây nhiệt đới… Với hàng ngàn loài động thực vật vô cùng phong phú, đa dạng như tôm, cá, mực… Có những loài đặc biệt quý hiếm chỉ có ở nơi đây.

Với các giá trị ngoại hạng về cảnh quan và địa chất, địa mạo vịnh Hạ Long hội tụ những điều kiện thuận lợi để phát triển ngành kinh tế du lịch với loại hình đa dạng. Đến vịnh Hạ Long, chúng ta có thể tham gia các hoạt động nghiên cứu khoa học, tham quan ngắm cảnh, tắm biển, bơi thuyền, thả dù, lặn khám phá rặng san hô, câu cá giải trí… Vùng vịnh thích hợp cho việc nuôi trồng và đánh bắt hải sản do có các điều kiện thuận lợi: khí hậu tốt, diện tích bãi triều lớn, nước trong, ngư trường ven bờ và ngoài khơi có trữ lượng hải sản cao và đa dạng với cá song, cá giò, sò, tôm, bào ngư, trai ngọc các loại.

Hiện nay, vịnh Hạ Long đã được UNESCO công nhận là di sản văn hóa thế giới . Hạ Long là một điểm du lịch hấp dẫn vì cảnh quan nơi đây thật đẹp và hữu tình. Phong cảnh Hạ Long không bao giờ bị tẻ nhạt, mỗi một mùa lại mang đến cho Hạ Long một sắc thái riêng đầy ấn tượng. Mùa xuân giữa sóng nước mênh mông trong làn sương bạc che phủ, những đảo đá trở nên uyển chuyển mềm mại, bồng bềnh trên sóng nước. Mùa hè đến, ánh bình minh ló rạng nơi chân trời, những đảo đá như vươn dậy, từ mặt nước bao la. Toàn vịnh mang một màu đỏ rực chuyển dần sang màu xanh lam. Những gợn sóng lăn tăn ánh bạc đua nhau lướt trên mặt vịnh xô vào bờ. Vịnh Hạ Long là một di sản văn hóa đáng tự hào của dân tộc.

Ngày nay, vịnh Hạ Long vẫn đang thu hút rất nhiều khách du lịch trong và ngoài nước đến tham quan, mang lại nhiều lợi ích cho nước nhà, chúng ta cần ra sức bảo vệ và giữ gìn vịnh Hạ Long để vịnh ngày càng xanh tươi hơn, mãi mãi là niềm tự hào của đất nước. (Hết)

Yêu cầu bài toán ???

16' nữa ? :>>

thật là lạ lone :)

Đề bài???

nhìn thek mak cx ko đoán đc đề -_-

\(\text{Giải}\)

\(ĐK:x\ne2;x\ne0\)

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}+\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{x-2}=\frac{x+2}{x-2}\)

\(\Rightarrow x+2=1\Rightarrow x=-1\left(\text{t/m}\right).\text{Vậy: x=-1}\)

Gọi d và r lần lượt là Chiều dài và Chiều rộng của sân vườn.

Vì sân vườn có chu vi là 50m => 2.(d+r) = 50 <=> d+r=25 <=> d=25 - r    (1)

Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 2m thì diện tích sân vườn sẽ là 169m²

=> (d-2).(r+3)=169     (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}d=25-r\\\left(d-2\right)\left(r+3\right)=169\end{cases}}\)

Giải hệ ta có: d=15, r=10

=> Diện tích sân vườn ban đầu là: d.r= 15.10= 150 (m² )

Chứng minh BĐT Cauchy-schwarz:

Xem câu hỏi

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(P=a^2+2b^2+3c^2=a^2+\frac{b^2}{\frac{1}{2}}+\frac{c^2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{11}{6}}=\frac{6}{11}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=3c\)

\(\Leftrightarrow b=\frac{3}{2}c\)

Có: \(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow3c+\frac{3}{2}c+c=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}c=1\Leftrightarrow c=\frac{2}{11}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3c=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{2}c=\frac{3}{11}\end{cases}}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)

Thử cách này có phải ý bạn không:

\(P=\left(a^2+\frac{36}{121}\right)+\left(2b^2+\frac{18}{121}\right)+\left(3c^2+\frac{12}{121}\right)-\frac{6}{11}\)

\(\ge2\sqrt{a^2.\frac{36}{121}}+2\sqrt{2b^2.\frac{18}{121}}+2\sqrt{3c^2.\frac{12}{121}}-\frac{6}{11}\)

\(=\frac{12\left(a+b+c\right)}{11}-\frac{6}{11}=\frac{12}{11}-\frac{6}{11}=\frac{6}{11}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{36}{121}\\2b^2=\frac{18}{121}\\3c^2=\frac{12}{121}\end{cases}}\) và a,b,c > 0 tức là \(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\) (t/m)

Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)

Bài của bạn có thể tổng quát hoá như sau:
Chứng minh rằng trong mọi đa giác lồi với số cạnh chẵn, tồn tại đường chéo không song song với một cạnh nào của đa giác.
Solution:
Nhận xét rằng nếu 1 đa giác có nn cạnh thì có n(n−3)2n(n−3)2 đường chéo.
Xét 1 đa giác lồi bất kì với số cạnh chẵn (đa giác lồi 2k2k cạnh và k≥2k≥2, ở đây của bạn là 16).
AD nhận xét, khi đó số đường chéo của đa giác là: g=k(2k−3)=2k(k−2)+kg=k(2k−3)=2k(k−2)+k, suy ra:
g>2k(k−2)g>2k(k−2) (1).
Giả sử trái lại đa giác này có tính chất : Mỗi đường chéo của nó đều song song với một cạnh nào đó của đa giác. Đa giác này có 2k2k cạnh, vì thế từ (1) suy ra tồn tại ít nhất k−1k−1 đường chéo d1,d2,…,dk−1d1,d2,…,dk−1 mà các đường chéo này cùng song song với một cạnh aa nào đó của tam giác đã cho. Thật vậy, nếu ngược lại mỗi cạnh tối đa là song song k−2k−2 đường chéo, thế thì tối đa ta chỉ có (k−2)2k(k−2)2k đường chéo và g≥2k(k−2)g≥2k(k−2). Điều này mâu thuẫn với (1).
Như thế ta có kk đường thẳng song song với nhau là: d1,d2,…,dk−1,ad1,d2,…,dk−1,a.
Lại có đa giác đã cho là đa giác lồi, nên các đường chéo d1,d2,…,dk−1d1,d2,…,dk−1 cùng nằm trên 1 nửa mặt phẳng bờ XĐ cạnh aa.
Không giảm tổng quát có thể cho d1d1 là đường chéo xa nhất đối với aa (vì nếu không thì đánh số lại các đường chéo trên). Ta có tất cả kk đoạn thẳng phân biệt, nên mỗi đỉnh của đa giác đều là đầu mút của một đoạn nào đó trong số kk đoạn trên. Từ đó suy ra toàn bộ đa giác nằm hẳn về một ửa mặt phẳng xác định bởi d1d1. Do d1d1 là đường chéo, nên điều này mâu thuẫn với tính lồi của đa giác. Vậy giả thiết phản chứng là sai.
Ta có điều phải chứng minh. 

Solution:
Nhận xét rằng nếu 1 đa giác có n cạnh thì có n(n−3)2 đường chéo.
Xét 1 đa giác lồi bất kì với số cạnh chẵn (đa giác lồi 2k cạnh và k≥2, ở đây của bạn là 16).
AD nhận xét, khi đó số đường chéo của đa giác là: g=k(2k−3)=2k(k−2)+k, suy ra:
g>2k(k−2) (1).
Giả sử trái lại đa giác này có tính chất : Mỗi đường chéo của nó đều song song với một cạnh nào đó của đa giác. Đa giác này có 2k cạnh, vì thế từ (1) suy ra tồn tại ít nhất k−1 đường chéo d1,d2,…,dk−1 mà các đường chéo này cùng song song với một cạnh a nào đó của tam giác đã cho. Thật vậy, nếu ngược lại mỗi cạnh tối đa là song song k−2 đường chéo, thế thì tối đa ta chỉ có (k−2)2k đường chéo và g≥2k(k−2). Điều này mâu thuẫn với (1).
Như thế ta có k đường thẳng song song với nhau là: d1,d2,…,dk−1,a.
Lại có đa giác đã cho là đa giác lồi, nên các đường chéo d1,d2,…,dk−1 cùng nằm trên 1 nửa mặt phẳng bờ XĐ cạnh a.
Không giảm tổng quát có thể cho d1 là đường chéo xa nhất đối với a (vì nếu không thì đánh số lại các đường chéo trên). Ta có tất cả k đoạn thẳng phân biệt, nên mỗi đỉnh của đa giác đều là đầu mút của một đoạn nào đó trong số k đoạn trên. Từ đó suy ra toàn bộ đa giác nằm hẳn về một ửa mặt phẳng xác định bởi d1. Do d1 là đường chéo, nên điều này mâu thuẫn với tính lồi của đa giác. Vậy giả thiết phản chứng là sai.
Ta có điều phải chứng minh.

giả sử P đạt GTNN khi a=x, b=y; c=z. khi đó ta có:

x,y,z>0 và 4x+3y+4z=22

ta thấy với a=x; b=y; c=z thì 

\(\frac{1}{3a}=\frac{1}{3x}=\frac{1}{3x^2};\frac{2}{b}=\frac{2}{y}=\frac{2}{y^2},\frac{3}{c}=\frac{3}{z}=\frac{3}{z^2}\)

do đó, các đánh giá sau sẽ đảm bảo được điều kiện đẳng thức

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3a}+\frac{a}{3x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{a}{3a^2}}=\frac{2}{3x}\\\frac{2}{b}+\frac{2b}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{2}{b}\cdot\frac{2b}{y^2}}=\frac{4}{y}\\\frac{3}{c}+\frac{3c^2}{z}\ge2\sqrt{\frac{3}{c}\cdot\frac{3c}{z^2}}=\frac{6}{z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3a}\ge\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2};\frac{2}{b}\ge\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2};\frac{3}{c}\ge\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\)

và như vậy, ta đã chuyển được các phân thức về dạng bậc nhất và thu được

\(P\ge a+b+c+\left(\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2}\right)+\left(\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2}\right)+\left(\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\right)\)

\(=\left(1-\frac{1}{3x^2}\right)a+\left(1-\frac{2}{y^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{z^2}\right)c+\frac{2}{3x}+\frac{4}{y}+\frac{6}{z}\)

vấn đề còn lại là ta phải chọn các số x,y,z thích hợp làm sao để có thể sử dụng được giả thiếu 4a+3b+4c=22

muốn vậy các hệ số của a,b,c trong đánh giá trên phải thành lập tỉ lệ 4:3:4 tức là

\(\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{1}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\)

vậy điểm rơi thực sự của bài toán chình là nghiệm của hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}4x+3y+4z=22\\\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\end{cases}\left(1\right)}\)

giải hệ này ta tìm được x=1; y=2; z=3. khi đó ta có:

\(P\ge\left(1-\frac{1}{3}\right)a+\left(1-\frac{2}{2^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{3^2}\right)c+\frac{2}{3}+\frac{4}{2}+\frac{6}{3}\)

\(=\frac{4a+3b+4c}{6}+\frac{14}{3}=\frac{22}{6}+\frac{14}{3}=\frac{25}{3}\)

đẳng thức xảy ra khi a=x=1; b=y=2 và c=z=3

\(\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{3x^2-3x+3}{3x^2+3x+3}=\frac{x^2+x+1+2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}\)

                                                       \(=\frac{1}{3}+\frac{2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\left(x^2-2x+1\right)}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\)

Vì \(\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3}+\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> 2(x-1)² = 0 <=> x-1 = 0 <=> x = 1

Vậy GTNN của biểu thức bằng 1/3 khi và chỉ khi x = 1

\(A=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\Leftrightarrow Ax^2+Ax+A=x^2-x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+x\left(A+1\right)+\left(A-1\right)=0\) (1)

+) Xét A = 1 thì x = 0

+)Xét A khác 1 thì (1) có nghiệm tức là \(\Delta=\left(A+1\right)^2-4\left(A-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A^2+2A+1\right)-4\left(A^2-2A+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3A^2+10A-3\ge0\Leftrightarrow3A^2-10A+3\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\le A\le3\)

Vậy ...