Ta có \(27=xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow9\ge\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow729\ge\left(xyz\right)^2\) \(\Leftrightarrow27\ge xyz\) \(\Leftrightarrow27\left(xyz\right)^2\ge\left(xyz\right)^3\) \(\Leftrightarrow\sqrt{3}\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{xyz}\) (lấy căn bậc 6 2 vế) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3xyz}\)

Do đó \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3xyz}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=3\) 

Tham khảo nhé 

Khi ta nhai cơm lâu trong miệng thấy có cảm giác ngọt vì tinh bột trong cơm đã chịu tác dụng của enzim amilaza trong nước bọt và biến đổi một thành phần thành đường mantôzơ, đường này đã tác động vào các gai vị giác trên lưỡi cho ta cảm giác ngọt.

\(\dfrac{1}{8}\) + \(\dfrac{5}{7}\) = \(\dfrac{7}{56}\) + \(\dfrac{40}{56}\) = \(\dfrac{47}{56}\)

81​ + 5775​ = 756567​ + 40565640​ = 47565647​

 

7 \(\times\) ( 2\(x\) - 5) - 5 \(\times\) (7\(x\) - 2) + 2 \(\times\) (5\(x\) - 7) = (\(x\) - 2) - (\(x\) +4)

14\(x\) - 35 - 35\(x\) + 10 + 10\(x\) - 14 = \(x\) - 2 - \(x\) - 4

(14\(x\) - 35\(x\) + 10\(x\)) - (35 - 10+ 14)  = -6

(- 21 \(x\) + 10\(x\)) - (25 + 14) = - 6

         -11\(x\) - 39 = - 6

          -11\(x\)       = - 6 + 39

          - 11\(x\)     = 33

                \(x\) = 33 : (-11)

                \(x\) =  - 3

14x - 35 -35x + 10 + 10x - 14 = x-2-x-4

-11x -39 = -6

11x = -33

x= -3

\(x^2+xy+y^2=x+y\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2xy+2y^2-2x-2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\)

Tới đây do \(2=1^2+1^2+0^2\) , đồng thời để ý rằng vai trò \(x,y\) như nhau nên ta sẽ có 2TH

 TH1: \(x+y=0\) và \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1^2+1^2\)   (1)

khi đó \(y=-x\) nên \(x-1\ne y-1\). Do đó từ (1), giả sử \(x\ge y\) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y-1=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\), vô lí. Làm tương tự với \(y\ge x\)

 TH2: \(x+y\ne0\). Khi đó \(x+y=\pm1\). 

    TH2.1: \(x+y=1\). Khi đó từ (1), suy ra 1 trong 2 số \(x-1,y-1\) phải bằng 0. Do vai trò x, y như nhau nên giả sử \(x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\), khi đó \(y=0\), thỏa mãn. Ta tìm được nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\). Tương tự, tìm được nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\)

    TH2.2: \(x+y=-1\). Giả sử \(x-1=0\) \(\Leftrightarrow x=1\), khi đó \(y=-2\), loại.

 Như vậy, pt đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(1;0\right)\right\}\)

Cách thứ 2 nhé:

\(x^2+xy+y^2=x+y\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)x+y^2-y=0\)

\(\Delta=\left(y-1\right)^2-4\left(y^2-y\right)\) \(=\left(y-1\right)^2-4y\left(y-1\right)\) \(=\left(y-1\right)\left[\left(y-1\right)-4y\right]\) \(=\left(y-1\right)\left(-1-3y\right)\). 

Để pt đã cho có nghiệm thì \(\Delta=-\left(y-1\right)\left(3y+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(3y+1\right)\le0\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}\le y\le1\). Do \(y\inℤ\) nên \(y\in\left\{0;1\right\}\). Nếu \(y=0\) thì thay vào pt đầu, dễ dàng suy ra \(x=1\). Còn nếu \(y=1\) thì cũng dễ dàng suy ra \(x=0\).

Vậy ohương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(1;0\right)\right\}\)

D = (3x - 2)^2 - 3(x - 4)(4 + x) + (x - 3)^3 - (x^2 - x + 1)(x + 1)

D = 9x^2 - 12x + 4 - 3x^2 + 48 + x^3 - 9x^2 + 27x - 27 - x^3 - 1

D = -3x^2 + 15x + 24

3b)

Ta có \(4xy\le\left(x+y\right)^2\) nên \(x+y-16xyz\ge x+y-4z\left(x+y\right)^2\) 

\(=1-z+4z\left(1-z\right)^2\)

\(=\left(1-z\right)\left[1-4z\left(1-z\right)\right]\) 

\(=\left(1-z\right)\left(1-4z+4z^2\right)\)

\(=\left(1-z\right)\left(1-2z\right)^2\) \(\ge0\) (do \(z< 1\))

Từ đó suy ra \(x+y-16xyz\ge0\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\z=\dfrac{1}{2}\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\). 

 Kí hiệu \(S\) là tổng tất cả các số trên cùng 1 hàng, cột hay đường chéo. Dễ dàng kiểm chứng được \(-6\le S\le6\). Ta thấy từ \(-6\) đến \(6\) có tất cả là 13 số nguyên. Nói cách khác, sẽ có tất cả 13 giá trị khác nhau mà \(S\) có thể đạt được. Do trên bảng 6x6 có 6 cột, 6 hàng, 2 đường chéo ứng với 14 tổng S nên theo nguyên lí Dirichlet, sẽ tồn tại 2 tổng S mang cùng 1 giá trị, đây là đpcm.