\(\text{Cho:}x^2+y^2+z^2=1\text{.Chứng minh rằng:}\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{z+2y}\ge\frac{1}{3}\)

\(\text{Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:}\)

\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)

\(\text{Lại có:}\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\text{Do đó:}\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

cho minh hoi phan bat dang thuc cosi la ban dung cong thuc the nao ak

bn ý ấn nhầm thì sao

hoặc trương trình của bạn ấy khác

Ta có: \(75\%=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\)

          \(50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\)

Gọi số tuổi của anh cả, anh thứ hai và em út lần lượt là a,b,c (a,b,c>0)

Theo bài ra ta có:

\(\frac{a}{2}=\frac{2b}{3}=\frac{3c}{4}\) \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{2}=\frac{b}{\frac{3}{2}}=\frac{c}{\frac{4}{3}}\)

Vì tổng số tuổi của ba anh em là 58 tuổi nên a + b + c = 58

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{\frac{3}{2}}=\frac{c}{\frac{4}{3}}\)\(=\frac{a+b+c}{2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}}=\frac{58}{\frac{29}{6}}=12\)

\(\Rightarrow\)\(a=24\)

        \(b=18\)

       \(c=16\)

Vậy......

Ta có:\(\overline{acb}+\overline{cab}=2\cdot\overline{abc}\left(b>c\right)\)

*Xét trường hợp a:

\(\overline{a}+\overline{c}=2\cdot\overline{a}\Rightarrow\overline{a}=\overline{c}\)

Mà trường hợp này \(\overline{a,b,c}\)phải là số đôi một khác nhau nên a,b,c không có giá trị nào thỏa mãn

\(ĐKXĐ:\)\(x-1\ne0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\ne1\)

Vậy ĐKXĐ của PT là \(x\ne1\)

a. A = 100² - 99²+ 98² - 97² + ... + 2² - 1²

A = ( 100² - 99² ) + ( 98² - 97² ) + ... + ( 2² - 1² )

A = ( 100 - 99 )(100 + 99 ) + (98 - 97 )(98 + 97) + ... + (2-1)(2+1)

A = 199 + 195 + .... + 3

Tổng A có ss hạng là:

( 199 - 3 ) : 4 + 1 = 50 ( số )

Tổng A bằng:

( 199 + 3 ) x 50 : 2 = 5050

c. C = (a + b + c)² + (a + b - c)² - 2(a + b)²

C = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac + a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac - 2(a² + 2ab + b²)

C = 2a² + 2b² + 2c² + 4ab - 2a²  -4ab - 2b²

C = 2c²

b. B = 3(2² + 1) (2⁴ + 1) ... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1) ... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = ( 2⁴ - 1)(2⁴ + 1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2⁸ - 1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2⁸ - 1)(2⁸+1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2¹⁶-1)(2¹⁶+1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2³² - 1)(2³²+1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2⁶⁴ - 1)(2⁶⁴ +1)+1

B = 2¹²⁸ - 1 + 1

B = 2¹²⁸

n⁴ + 7( 7 + 2n² )

= n⁴ + 14n² + 49

= ( n² + 7 )²

Vì n lẻ và n ∈ Z => n = 2k + 1 ( k ∈ Z )

Thế vô ta được :

[ ( 2k + 1 )² + 7 ]²

= ( 4k² + 4k + 1 + 7 )²

= ( 4k² + 4k + 8 )²

= [ 4( k² + k + 2 ) ]²

= { 4[ k( k + 1 ) + 2 ] }²

Ta có : k( k + 1 ) chia hết cho 2

            2 chia hết cho 2

=> k( k + 1 ) + 2 chia hết cho 2

=> 4[ k( k + 1 ) + 2 ] chia hết cho 8

=>  { 4[ k( k + 1 ) + 2 ] }² chia hết cho 64

=> đpcm

Ngu

Ta có \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}=\frac{2a}{6}+\frac{3a^2}{6}+\frac{a^3}{6}=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

Lại có  2a + 3a² + a³

  =a(2+3a+a²) 

= a(a² + 3a +2)

=a(a² +a +2a +2)

= a[a(a+1) + 2(a+1)]

=a [(a+1) (a+2)]

= a(a+1)(a+2)

ta thấy a(a+1)(a+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp 

=> a(a+1)(a+2) \(⋮3\) và \(⋮\)2

mà (2;3)=1

=>  a(a+1)(a+2) \(⋮\)6 

=> \(\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{6}\) là số nguyên hay \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) là số nguyên

\(\text{Ta có:}\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

\(\text{Xét tử số:}\)

\(a^3+3a^2+2a=a\left(a^2+3a+2\right)\)

\(=a\left[a\left(a+2\right)+\left(a+2\right)\right]\)

\(=a\left(a+1\right)+\left(a+2\right)\)

\(\text{Vì a,a+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên:}\)

\(a\left(a+1\right)⋮2\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮2\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a⋮2\left(1\right)\)

\(\text{Mặt khác }a,a+1,a+2\text{ là 3 số nguyên liên tiếp nên chúng}⋮3\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a⋮3\left(2\right)\)

\(\text{Từ (1) và (2) kết hợp (2;3) nguyên tố cùng nhau:}\)

\(\Rightarrow a^3+3a^2+2a⋮6\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+3a^2+2a}{6}\inℤ\)

\(\Rightarrow\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\text{ là 1 số nguyên}\)

\(=\frac{4y^2+2y}{4}=\frac{\left(2y\right)^2+2.2y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}{4}\)

\(=\frac{\left(2y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}{4}\ge\frac{0-\frac{1}{4}}{4}=\frac{-1}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2y=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow y=\frac{-1}{4}\)

Vậy GTNN là -1/16 khi y=1/4

\(xy+x+y=2\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)+y+1=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=3\)

Ta có bảng giá trị: 

Chọn D