Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.
a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.
c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?
d, CM: góc RMD = DMP = PMR
e, trong 3 đoạn thẳng MA MB MC. Đoạn thẳng lớn...
Đọc tiếp
Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.
a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.
c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?
d, CM: góc RMD = DMP = PMR
e, trong 3 đoạn thẳng MA MB MC. Đoạn thẳng lớn nhất có độ dài nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn thẳng kia
a) Ta có MR//AP nên tứ giác APMR là hình thang.
Lại có MP//BQ nên \(\widehat{MPA}=\widehat{CBA}=\widehat{BAC}=\widehat{RAP}=60^o\)
Hình thang APMR (MR//AP) có \(\widehat{MPA}=\widehat{RAP}\) nên APMR là hình thang cân.
b) Tương tự câu a), ta cũng chứng minh được các tứ giác BPMQ và CQMR là hình thang cân.
Tứ giác APMR là hình thang cân \(\Rightarrow MA=PR\) (2 đường chéo của hình thang cân thì bằng nhau)
Tương tự, suy ra \(MB=PQ,MC=QR\)
\(\Rightarrow MA+MB+MC=PR+PQ+PR=C_{\Delta PQR}\)
Ta có đpcm.
c) \(\Delta PQR\) đều
\(\Leftrightarrow PQ=QR=PR\)
\(\Leftrightarrow MA=MB=MC\) (vì \(MA=PR,MB=PQ,MC=QR\) (cmt))
\(\Leftrightarrow\) M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d) Điểm D là điểm nào đó bạn? Nếu ý bạn là \(\widehat{RMP}=\widehat{PMQ}=\widehat{QMR}\) thì cái này dễ rồi nhé. Dùng tính chất hình thang chứng minh cả 3 góc này bằng 120o là được.
e) Dựng tam giác đều BMN sao cho N và A nằm cùng phía đối với đường thẳng BM.
Khi đó \(BM=BN=MN\), \(\widehat{MBN}=\widehat{ABC}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NBM}-\widehat{ABM}=\widehat{ABC}-\widehat{ABM}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{MBC}\)
Xét tam giác BNA và BMC, ta có:
\(BN=BM\left(cmt\right),\widehat{NBA}=\widehat{MBC}\left(cmt\right),BA=BC\) (tam giác ABC đều)
\(\Rightarrow\Delta BNA=\Delta BMC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AN=MC\)
Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}MB=MN\\MC=NA\end{matrix}\right.\) nên \(MA,MB,MC\) chính là 3 cạnh của tam giác AMN
Hiển nhiên \(max\left\{MA,MB,MC\right\}\) nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại.