Lời giải đây bạn nhé.

A B C D O M E

a/

Ta có

\(AB\perp OA\)

\(AD\perp OD\) (Trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

=> B và D cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông => B và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AO tâm I là trung điểm của AO

=> ABOM là tứ giác nội tiếp

b/ Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ABD\) có

\(\widehat{BAD}\) chung (1)

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADB}\) (2)

Từ (1) và (2) => tg ABC đồng dạng với tg ABD

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB^2=AC.AD\left(đpcm\right)\)

c/ Xét (I) có

\(\widehat{AEO}=90^o\Rightarrow AE\perp OE\)

Mà E là giao của (I) với (O) => \(E\in\left(O\right)\) => OE là bán kính của (O)

=> AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d/

Xét tg vuông AOB và tg vuông AOE có

AB=AE (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1điểm)

OB=OE=R

=> tg AOB = tg AOE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOE}\)

Xét tg vuông AOB có

\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AOB}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BOE}=\widehat{AOB}+\widehat{AOE}=120^o\)

\(\Rightarrow S_{OBE}=\dfrac{\pi R^2.\widehat{BOE}}{360^o}=\dfrac{\pi R^2}{3}\)

$P\le \sqrt{a^2+2\sqrt{a}ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2\sqrt{2}bc+2c^2}+\sqrt{c^2+2\sqrt{2}ca+2a^2}$

$P\le \sqrt{{\left(a+\sqrt{2}b\right)}^2}+\sqrt{{\left(b+\sqrt{2}c\right)}^2}+\sqrt{{\left(c+\sqrt{2}a\right)}^2}$

$P\le \left(1+\sqrt{2}\right)\left(a+b+c\right)=1+\sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)$ và các hoán vị

a) vì đường thẳng y=mx+m+1 cắt đường thẳng y=2x-1 

=> a ≠ a' 

m≠2

 vì hoành độ bằng 2 => x= 2

thay x= 2 vào y=2x-1 ta đc

=> y=2.2-1

<=> y=3 

thay x=2 ; y=3 vào y=mx+m+1

3=m.2+m+1

<=> 2m+m+1=3

<=> 3m=2

<=> m= 2/3 

vậy m=2/3 

a) \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90^o\) nên \(E,F\) cùng nhìn \(AD\) dưới góc vuông suy ra \(AEDF\) nội tiếp. 

suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{ADF}\).

mà \(\widehat{ADF}=\widehat{ACD}\) (vì cùng phụ với góc \(\widehat{DAC}\))

suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{BEF}+\widehat{FCB}=180^o\) suy ra \(BEFC\) nội tiếp.

b) \(\Delta GBE\sim\Delta GFC\left(g.g\right)\)

suy ra \(GB.GC=GE.GF\).

\(\Delta GDE\sim\Delta GFD\left(g.g\right)\)

suy ra  \(GD^2=GE.GF\).

\(ACBH\) nội tiếp suy ra \(GB.GC=GH.GA\)

suy ra \(GD^2=GH.GA\)

\(\Rightarrow\Delta GHD\sim\Delta GDA\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{GHD}=\widehat{GDA}=90^o\)

suy ra \(DH\) vuông góc với \(AG\).