(phương pháp phản chứng )

giả sử x + \(\dfrac{1}{x}\) ϵ Q ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\) (a,b ϵN, b#0)

⇔ x = \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{1}{x}\)⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{1}{x}\) - \(\dfrac{1}{x}\) ⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\)- \(\dfrac{2}{x}\)

nếu x = 2 ta có x - \(\dfrac{1}{x}\) = 2 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (loại vì \(\dfrac{3}{4}\) không thuộc Z)

nếu \(\dfrac{a}{b}\)= \(\dfrac{2}{x}\) ⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = 0 ⇔ x = +- 1 (loại) ⇔ \(\dfrac{a}{b}\) # \(\dfrac{2}{x}\)

vậy với x # +-1

⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\)= \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{2}{x}\)  \(\notin\)  Z ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) \(\notin\) Q ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) \(\in\) I (đpcm)

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{9}{2};x\ne0\)

\(\dfrac{2x^2}{\left(3-\sqrt{9+2x}\right)^2}=x+9\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x^2\left(3+\sqrt{9+2x}\right)^2}{\left(3-\sqrt{9+2x}\right)^2\left(3+\sqrt{9+2x}\right)^2}=x+9\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x^2\left(3+\sqrt{9+2x}\right)^2}{4x^2}=x+9\)

\(\Rightarrow\left(3+\sqrt{9+2x}\right)^2=2x+18\)

Đặt \(\sqrt{2x+9}=t\ge0;t\ne3\)

\(\Rightarrow\left(3+t\right)^2=t^2+9\Rightarrow t=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+9}=0\Rightarrow x=-\dfrac{9}{2}\)

a.

Để cho biểu thức \(\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}\) xác định thì

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{x-1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x-1>0\)

\(\Leftrightarrow x>1\)

b.

Để cho biểu thức \(\sqrt{1+x^2}\) xác định thì

\(\Leftrightarrow1+x^2\ge0\) (Luôn đúng với mọi \(x\))

Do \(x^2\ge\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+1>0\)

c.

Để cho biểu thức \(\sqrt{\dfrac{x-1}{2x-4}}\) xác định thì 

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2x-4}\ge0\)

Trường hợp 1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\2x-4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x>2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>2\)

Trường hợp 2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\le0\\2x-4< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\x< 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\le1\)

Gọi số áo của ba thành viên đội bóng U23 Việt Nam Tấn Tài, Văn Thanh, Duy Mạnh lần lượt là a, b, c với a, b, c là số nguyên tố có hai chữ số:

Ta có: \(22< a+c< b+c< a+b< 32\)

Suy ra: \(b>a>c\)

=> \(c=11,a=13,b=17\)

Vậy Duy Mạnh mặc áo số 11

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

\(x^2+4=3\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-2x+2\right)}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{x^2-2x+2}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a^2+b^2=x^2+4\)

Pt trở thành:

\(2a^2+b^2=3ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\2a=b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-2x+2}\\2\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-2x+2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=x^2+2x+2\\4\left(x+1\right)=x^2-2x+2\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}.\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}.\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2-3}=\dfrac{\sqrt{2}.\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{1+2\sqrt{2}+2-3}=\dfrac{\sqrt{2}.\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\)

= 2,073132185

Ta có \(\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{9}{16}\Leftrightarrow BH=\dfrac{9}{16}CH\) (1)

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên \(BH.CH=AH^2=48^2=2304\)

Kết hợp với (1), ta có \(\dfrac{9}{16}CH^2=2304\Leftrightarrow CH^2=4096\Leftrightarrow CH=64\left(cm\right)\) (do \(CH>0\))

Lại có \(BH=\dfrac{9}{16}CH=\dfrac{9}{16}.64=36\left(cm\right)\)

Do đó \(BC=BH+CH=36+64=100\left(cm\right)\)

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH nên ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{36.100}=60\left(cm\right)\\AC=\sqrt{CH.BC}=\sqrt{64.100}=80\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(AB=60cm;AC=80cm\)

b) Ta có \(VT=BD^2-CD^2=\left(BD+CD\right)\left(BD-CD\right)\) \(=BC\left(BD-CD\right)\) (2)

Dễ thấy ID//AH do cùng vuông góc với BC. Tam giác CAH có I là trung điểm AC, ID//AH nên D là trung điểm HC, do đó \(CD=DH\). Thay vào (2), ta có \(VT=BC\left(BD-DH\right)=BC.BH=AB^2=VP\). Vậy đẳng thức được chứng minh.