\(\forall a,b,c\in R\) ta luôn có  

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  a = b = c.

Áp dụng BĐT Bunhiakovsky dạng phân thức   \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)   ta được

\(VT=\frac{a^3}{b+c-a}+\frac{b^3}{c+a-b}+\frac{c^3}{a+b-c}\)

\(=\frac{a^4}{bc+ca-a^2}+\frac{b^4}{bc+ab-b^2}+\frac{c^4}{ca+bc-c^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=VP\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  a = b = c.

(Lời giải của WolframAlpha)

Ta có \(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(\frac{a}{b+c}\right)^2}{a}\) nên Vế trái sẽ bằng \(\frac{\left(\frac{a}{b+c}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{c+a}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{a+b}\right)^2}{c}\ge\frac{\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)

Theo BĐT Nesbit, \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) nên ta có đpcm.

Bạn vẽ hình ra luôn đi dc không :(

khó quá

\(A=\frac{4n+8}{2n+3}\)

\(A=\frac{4n+6+2}{2n+3}=\frac{2.\left(2n+3\right)+2}{2n+3}\)\(=2+\frac{2}{2n+3}\)

Vậy để A là số nguyên thì 2n+3 là ước nguyên của 2

\(2n+3=1\Rightarrow n=-1\)(chọn)

\(2n+3=2\Rightarrow-\frac{1}{2}\)(loại)

\(2n+3=-1\Rightarrow n=-2\)(chọn)

\(2n+3=-2\Rightarrow-\frac{5}{2}\)(loại)

vậy n \(\in\){ -1;-2}

mink nghĩ vậy bạn ạ

A=\(\frac{4n+8}{2n+3}\)=\(\frac{4n+6+2}{2n+3}\)=\(\frac{4n+6}{2n+3}\)+\(\frac{2}{2n+3}\)= 2+\(\frac{2}{2n+3}\)

để A là số nguyên thì 2n+3 phải thuộc Ư₍₂₎= { -2; -1; 1; 2 }

ta có bảng sau:

vậy để A nguyên thì n = {\(\frac{-5}{2}\); -2; -1; \(\frac{-1}{2}\)}

Lớp 6 nhảy qua lớp 9.

Bạn tự vẽ hình.

a/ Ta có: góc yOt + góc xOy = 180 độ (kề bù)

         => góc yOt + 60           = 180

        => góc yOt = 180 - 60 = 120 độ

b/ Vì Om là pgiác góc yOt => góc yOm = góc mOt = góc yOt : 2 = 120 : 2 = 60 độ

Oy là pgiác góc xOm vì

+ Oy nằm giữa 2 tia Ox;Om

+ góc xOy = góc yOm (tới đây thôi đủ xài r)

dự đoán của mouri kogoro

a=b=c=1

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{\left(a^2+1\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)4}}=1.\)

\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{\left(B^2+1\right)}{4}\ge1\)

\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{\left(c^2+1\right)}{4}\ge1\)

\(VT+\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{3}{4}\ge3\)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\left(cosi\right)\)

\(VT+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ge3\)

\(VT\ge3-\frac{6}{4}=\frac{12-6}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

mình sắp tốt nghiệp cấp 3 rồi bạn:)