Ta đặt A =  \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(x^2+5xy+4y^2=t\Rightarrow A=t\left(t+2y^2\right)+y^4\)

\(=t^2+2ty^2+y^4=\left(t+y^2\right)^2\)

Do x, y nguyên nên t nguyên, vậy thì t + y² cũng nguyên. Suy ra A là số chính phương.

cô huyền giỏi quá. Nhờ có cô mà em đã biết làm bài này rồi ạ

Ta có \(y=1-2z^2;x=3-y-z=2z^2-z+2\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{3\left(yz+xz+xy\right)}{3xyz}=\frac{xyz}{3xyz}\)

\(\Rightarrow3z\left(1-2z^2\right)+3z\left(2z^2-z+2\right)+3\left(1-2z^2\right)\left(2z^2-z+2\right)\)

\(=z\left(1-2z^2\right)\left(2z^2-z+2\right)\)

\(\Leftrightarrow4z^5-14z^4+8z^3-8z^2+4z+6=0\)

\(\Leftrightarrow z=1\vee z=3\vee z=-\frac{1}{2}\)

Với z = 1, ta có y = -1, x = 3

Với z = 3, x = 17, y = -17

Với \(z=-\frac{1}{2},x=3,y=\frac{1}{2}\)

Tóm lại hệ có 3 nghiệm \(\left(3;-1;1\right),\left(17;-17;3\right),\left(3;\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\)

Để \(n^2+2n+12\) là số chính phương

\(\Rightarrow n^2+2n+12=t^2\left(t\in Z^{\text{*}}\right)\)

\(\Rightarrow t^2-\left(n^2+2n+1\right)=11\)

\(\Rightarrow t^2-\left(n+1\right)^2=11\)

\(\Rightarrow\left(t+n+1\right)\left(t-n-1\right)=11\)

Dễ thấy: \(t+n+1>t-n-1\forall t,n\in Z^{\text{*}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}t+n+1=11\\t-n-1=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}t=6\\n=4\end{cases}}\)(thỏa)

Vậy \(n=4\) thì \(n^2+2n+12\) là SCP

Đề \(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)+\left(1+x\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{x+31}{x^2-9}\)\(\left(ĐKXĐ:x\ne3,-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+3x-2x-6+x-3+x^2-3x}{x^2-9}=\frac{x+31}{x^2-9}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x-9=x+31\Leftrightarrow2x^2-2x-40=0\Leftrightarrow x^2-x-20=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+4x-20=0\Leftrightarrow x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-5=0\\x+4=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\left(chọn\right)\\x=-4\left(chọn\right)\end{cases}}}\)

Vậy \(S=\left\{5;-4\right\}\)

Đề \(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{5x+1}{x^2-1}\left(ĐKXĐ:x\ne1,-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}=\frac{5x+1}{x^2-1}\)\(\Leftrightarrow4x=5x+1\Leftrightarrow-1=5x-4x\Leftrightarrow x=-1\left(loại\right)\)

Vậy \(S=\varnothing\)