mình nhé

có tui

\(\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)

Ta có:

\(VT\le\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{2\sqrt{xy}}-\frac{x+y}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\)

Giờ ta chỉ cần chứng minh 

\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow2x+2y-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)+\left(2y-2\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\ge0\)(đúng)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\) 

M = 2m + 1 + 2m + m²

= m² + 4m + 1

= (m + 2)² - 3 >= -3

Vậy, Min_M = -3 khi m = -2

O A B C X Y Z

Xét 3 tứ giác OAXC ; OBYA ; OBZC có :

X + XAO + OCX + AOC = 360⁰ (Tứ giác OAXC)

Y + OAY + AOB + OBY = 360⁰ (Tứ giác OBYA)

Z + OCZ + COB + OBZ = 360⁰ (Tứ giác OBZC)

Dựa vào dữ kiện các góc bằng nhau , ta suy ra 

Góc X = Góc Y = Góc Z

=> Tam giác XYZ đều 

biết đăng làm chi

Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m,p sao cho :

 96 000 ... 000 + a + 15p < 97 000 ... 000

     M chữ số 0                     M chữ số 0

Tức là \(96\frac{a}{10^m}\)+ \(\frac{15p}{10^m}\)\(< 97\left(1\right)\)

Gọi a + 15 là số có k chữ số 10^kl + 15 < 10^k

=> \(\frac{1}{10}\)\(\le\frac{a}{10^k}\)+ \(\frac{15p}{10^k}\). Theo (2)

Ta có : x₁ < 1 và \(\frac{15}{10^k}\)< 1

Cho n nhận lần lượt các giá trị 1;3;4;....; các giá trị nguyên của x_n tăng dần, mỗi lần tăng không quá 1 đơn vị, khi đó [ x_n sẽ trải qua các giá trị 1,2,3. Đến 1 lúc ta có [x_p] = 96. Khi đó 96x_p tức là \(96\frac{a}{10^k}\)+ \(\frac{15}{10^k}\)< 97. Bất đẳng thức (1) đợt chứng minh.

\(B=\frac{2cosa-sina}{cosa+2sina}=\frac{2-tana}{1+2tana}=\frac{2-2+\sqrt{3}}{1+2\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}\)

PS: Mấy cái như điều kiện xác định thì bạn tự làm nhé.

Theo BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{4}{2}=2\)

Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 4/3