Điều kiện \(x\ge4\left(1\right)\)

\(\Rightarrow2x+2\sqrt{x^2-4x+16}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-4x+16}=2-x\)

Điều kiện \(x\le2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình vô nghiệm.

Bất đẳng thức trên là hiển nhiên với a, b dương bất kì (bđt Cô-si).

Vì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

<=> \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

<=> \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\)

Ta có: 

\(x^4+ax^2+b+1=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+a\right)+x\left(1-a\right)+b-a+1\)

Để nó là phép chia hết thì:

\(\hept{\begin{cases}1-a=0\\b-a+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}}\)

Điều kiện: \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt[4]{x+1}=a\ge0\) thì phương trình trở thành.

\(a^4-23a^2+30a-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a^2+5a-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=4;a=1;a=\frac{-5+\sqrt{33}}{2};a=\frac{-5-\sqrt{33}}{2}\left(l\right)\)

Thế a ngược lại tìm được x

Ta có:

\(\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\le1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}\)

\(=1+\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}\le1+\frac{ab}{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}\)

\(\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1-bc}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{1-ca}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1), (2), (3) 

\(\Rightarrow\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\le3+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\right)\)

\(=3+\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{9}{2}\)

\(A=\frac{1^2}{1.3}+\frac{2^2}{3.5}+...+\frac{1006^2}{2011.2013}\)

\(\Leftrightarrow4A=\frac{2^2.1^2}{2^2-1}+\frac{2^2.2^2}{4^2-1}+...+\frac{2^2.1006^2}{2012^2-1}\)

\(=1006+\left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{2011.2013}\right)\)

\(=1006+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013}\right)\)

\(=1006+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2013}\right)=\frac{2026084}{2013}\)

\(\Rightarrow A=\frac{506521}{2013}\)

\(MinP=6\Leftrightarrow a=b=c=0\)

mk cần cách lm cơ chứ ko cần kết quả thanks nha

b/ \(a-\frac{1}{a}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}=1\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}-2=1\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}=3\)

\(\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{a^2}+2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}\)

a/ Ta có: \(x=\frac{1-5y}{2}\) thê vô ta được

\(x^2+y^2=y^2+\left(\frac{1-5y}{2}\right)^2=\frac{29y^2-10y+1}{4}\)

\(=\frac{1}{116}\left(29^2y^2-290y+29\right)=\frac{1}{116}\left[\left(29^2y^2-2.29y.5+25\right)+4\right]\)

\(=\frac{1}{116}\left[\left(29y-5\right)^2+4\right]\ge\frac{4}{116}=\frac{1}{29}\)