Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng k_1: Đoạn thẳng [X, Y] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [B, Y] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [E, A] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [E, I] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [Y, K] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [N, I] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [I, M] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [E, M] Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [A, I] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [N, M] B = (-1.6, -0.66) B = (-1.6, -0.66) B = (-1.6, -0.66) C = (5.82, -0.68) C = (5.82, -0.68) C = (5.82, -0.68) Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm X: Điểm trên f Điểm X: Điểm trên f Điểm X: Điểm trên f Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm E: Trung điểm của n Điểm E: Trung điểm của n Điểm E: Trung điểm của n Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 K

Gọi trung điểm của XY, YC và BC lần lượt là M, N và K..

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYC nên \(\widehat{YMI}=\widehat{YNI}=90^o\)

Vậy ta có YMIN là tứ giác nội tiếp hay \(\widehat{IYN}=\widehat{IMN}\Rightarrow\widehat{AYI}=\widehat{EMI}\)        (1)

Xét tam giác BYX có E và M lần lượt là trung điểm của YB và YX nên EM song song và bằng một nửa BX.

Ta cũng có ngay E, M, N thẳng hàng.

Do XY // AB nên \(\frac{AY}{AC}=\frac{BX}{BC}\Rightarrow\frac{AY}{BX}=\frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AY}{EM}=\frac{AY}{\frac{BX}{2}}=2.\frac{AY}{BX}=\frac{2.AC}{BC}=\frac{AC}{BK}\)'

Do tam giác ABC cân tại A nên \(AK\perp BC\)

Xét tam giác vuông ABK, theo định nghĩa tỉ số lượng giác thì \(cos\widehat{ABC}=\frac{BK}{AB}\)

Vậy thì  \(\frac{YI}{MI}=\frac{1}{sin\widehat{XYK}}=\frac{1}{cos\widehat{YXK}}=\frac{1}{cos\widehat{ABC}}=\frac{1}{\frac{BK}{AB}}=\frac{AB}{BK}=\frac{AC}{BK}\)

Vậy nên \(\frac{AY}{EM}=\frac{YI}{MI}\)               (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(\Delta AYI\sim\Delta EMI\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{IEN}=\widehat{IAN}\) 

Xét tứ giác AEIN có \(\widehat{IEN}=\widehat{IAN}\) nên nó là tứ giác nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{AEI}=180^o-\widehat{ANI}=90^o\)

mình xin sửa lại yêu cầu là: chứng minh góc AEI bằng 90 

mong các bạn giúp

-43,125

Đường tròn c: Đường tròn qua B với tâm O Đường tròn d: Đường tròn qua O với tâm I Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [D, A] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [I, O] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [D, O] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [D, E] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [C, B] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [A, E] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [D, B] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [C, K] O = (1.07, -4.08) O = (1.07, -4.08) O = (1.07, -4.08) B = (8.62, -4.08) B = (8.62, -4.08) B = (8.62, -4.08) Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm D: Giao điểm đường của g, i Điểm D: Giao điểm đường của g, i Điểm D: Giao điểm đường của g, i Điểm E: Giao điểm đường của h, i Điểm E: Giao điểm đường của h, i Điểm E: Giao điểm đường của h, i Điểm I: Trung điểm của D, E Điểm I: Trung điểm của D, E Điểm I: Trung điểm của D, E Điểm K: Giao điểm đường của s, t Điểm K: Giao điểm đường của s, t Điểm K: Giao điểm đường của s, t H

a) Do DA và DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên DA = DC (T.c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tương tự EB = EC

Vậy nên DE = DC + CE = AD + BE

b) Ta thấy DA = DC; OA = OC nên OD là đường trung trực của đoạn AC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(OD\perp AC\)

Do AB là đường kính, C thuộc đường tròn (O) nên \(\widehat{ACB}=90^o\) hay \(BC\perp AC\)

Vậy nên OD//BC

c) Xét tứ giác ADEB có AD và BE cùng vuông góc với AB nên ADEB là hình thang vuông.

Xét hình thang vuông ADEB có I là trung điểm DE, O là trung điểm AB nên OI là đường trung bình hình thang ADEB.

Vậy thì \(OI=\frac{AD+BE}{3}=\frac{DE}{2}=ID\)

Vậy O nằm trên đường tròn \(\left(I,ID\right)\)

Lại có OI // DA //EB nên \(OI\perp AB\)

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(I,ID\right)\)

d)  Do AD // BE nên áp dụng định lý Ta-let ta có:

\(\frac{AK}{KE}=\frac{DK}{KB}=\frac{AD}{BE}\)

Lại có \(\frac{AD}{BE}=\frac{DC}{CE}\Rightarrow\frac{AK}{KE}=\frac{DC}{CE}\)

Xét tam giác ADE có \(\frac{AK}{KE}=\frac{DC}{CE}\) nên CK // DA

Mà DA vuông góc với AB nên CK cũng vuông góc với AB.

Xét tam giác ADB có KH // DA nên \(\frac{DA}{KH}=\frac{BD}{KB}=\frac{DK+KB}{KB}=\frac{DK}{KB}+1\)

Xét tam giác ADE có KC // DA nên \(\frac{DA}{KC}=\frac{AE}{KE}=\frac{AK+KE}{KE}=\frac{AK}{KE}+1\)

Mà ta đã có \(\frac{DK}{KB}=\frac{AK}{KE}\) nên \(\frac{DA}{KH}=\frac{DA}{KC}\Rightarrow KH=KC\) hay K là trung điểm CH.

Hay