\(x+3+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}.\) \(-1\le x\le1\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}=a\\\sqrt[]{1-x}=b\end{cases}\left(a,b\ge0\right)}\)=> x=a²-1. 

pt <=> a^2+2+ab=3a+b <=>(a-1)^2 + (a-1)(b-1) =0 <=> (a-1)(a+b-2)=0

=> \(\orbr{\begin{cases}a=1\\a+b=2\end{cases}}\)

Với a=1 =>x=0(t/m)

Với a+b=2=> x=0 (t/m)

Vây x=0 

Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng k_1: Đoạn thẳng [X, Y] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [B, Y] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [E, A] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [E, I] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [Y, K] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [N, I] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [I, M] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [E, M] Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [A, I] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [N, M] B = (-1.6, -0.66) B = (-1.6, -0.66) B = (-1.6, -0.66) C = (5.82, -0.68) C = (5.82, -0.68) C = (5.82, -0.68) Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm X: Điểm trên f Điểm X: Điểm trên f Điểm X: Điểm trên f Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm E: Trung điểm của n Điểm E: Trung điểm của n Điểm E: Trung điểm của n Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 K

Gọi trung điểm của XY, YC và BC lần lượt là M, N và K..

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYC nên \(\widehat{YMI}=\widehat{YNI}=90^o\)

Vậy ta có YMIN là tứ giác nội tiếp hay \(\widehat{IYN}=\widehat{IMN}\Rightarrow\widehat{AYI}=\widehat{EMI}\)        (1)

Xét tam giác BYX có E và M lần lượt là trung điểm của YB và YX nên EM song song và bằng một nửa BX.

Ta cũng có ngay E, M, N thẳng hàng.

Do XY // AB nên \(\frac{AY}{AC}=\frac{BX}{BC}\Rightarrow\frac{AY}{BX}=\frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AY}{EM}=\frac{AY}{\frac{BX}{2}}=2.\frac{AY}{BX}=\frac{2.AC}{BC}=\frac{AC}{BK}\)'

Do tam giác ABC cân tại A nên \(AK\perp BC\)

Xét tam giác vuông ABK, theo định nghĩa tỉ số lượng giác thì \(cos\widehat{ABC}=\frac{BK}{AB}\)

Vậy thì  \(\frac{YI}{MI}=\frac{1}{sin\widehat{XYK}}=\frac{1}{cos\widehat{YXK}}=\frac{1}{cos\widehat{ABC}}=\frac{1}{\frac{BK}{AB}}=\frac{AB}{BK}=\frac{AC}{BK}\)

Vậy nên \(\frac{AY}{EM}=\frac{YI}{MI}\)               (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(\Delta AYI\sim\Delta EMI\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{IEN}=\widehat{IAN}\) 

Xét tứ giác AEIN có \(\widehat{IEN}=\widehat{IAN}\) nên nó là tứ giác nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{AEI}=180^o-\widehat{ANI}=90^o\)

mình xin sửa lại yêu cầu là: chứng minh góc AEI bằng 90 

mong các bạn giúp

-43,125