\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)(1)

Ta có: \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)

Vì \(x^2+y^2\)và x+y là các số nguyên => 2xy là số nguyên

\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2\)

Vì \(x^4+y^4,x^2+y^2\)là các số nguyên => \(2x^2y^2\)là số nguyên

=> \(\frac{1}{2}\left(2xy\right)^2\)là số nguyên=> \(\left(2xy\right)^2⋮2\)mà 2 là số nguyên tố => 2xy chia hết cho 2=> xy là số nguyên (2) 

Từ (1), (2) và x+y là số nguyên 

=> x^3+y^3 cũng là số nguyên.

Cô: x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2xxyy nhé cô :)

Contamination in the air causes acid rain which damages soil, vegetation and aqua life of the region.

He had this house painted 

He had this house painted.

\(A=\left(\frac{\left(1-x\right)\left(x-1\right)-\left(x+3\right)^2}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\right):\left(\frac{\left(x+3\right)^2-\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\right)\)(ĐKXĐ: x khác -3 và 1)

\(=\frac{-x^2+2x-1-x^2-6x-9}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}:\frac{x^2+6x+9-x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{-2x^2-4x-10}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}:\frac{8x+8}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{-2x^2-4x-10}{8x+8}\)

Mà \(-2x^2-4x-10=-2\left(x+1\right)^2-8< 0\forall x\)

Nên để A < 0 thì \(8x+8>0\Leftrightarrow x>-1\)

Vậy với \(x>-1,x\ne1\)thì A < 0

\(Giải:\)

\(ĐK:x\ne\left(-2\right);x\ne\left(-1\right)\)

\(\frac{x^2+2x+2}{x+1}>\frac{x^2+4x+5}{x+2}-1\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+2}{x+1}>\frac{x^2+3x+3}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{x^2+3x+2+1}{x+2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{x+1}-\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{x+2}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}>0\)

\(\Leftrightarrow x+1-x-1+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}>0\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x+1>0\\x+2>0\end{cases}}hoặc\hept{\begin{cases}x+1< 0\\x+2< 0\end{cases}}\)

\(+,\hept{\begin{cases}x+1>0\\x+2>0\end{cases}}\Rightarrow x>\left(-2\right)\)

\(+,\hept{\begin{cases}x+1< 0\\x+2< 0\end{cases}}\Rightarrow x< \left(-2\right)\)

BPT đã được giải quyết

BPT <=> -3x²+15x-12>0

<=> x²-5x+4<0

<=> (x-1)(x-4)<0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-1>0\\x-4< 0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x-1< 0\\x-4>0\end{cases}}\)(loại)

<=> 1<x<4

\(\left(x^3-27\right)\left(x^3-1\right)\left(2x+3-x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left[4-\left(x-1\right)^2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\right]\left(x-1\right)\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\left(4-x+1\right)\left(4+x-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(5-x\right)\left(x+3\right)\left[...\right]\left[...\right]\ge0\)(1)

Do [...] và [...] > 0

nên \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(5-x\right)\left(x+3\right)\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+3\right)\le0\)

Có: \(x-5< x-3< x-1< x+3\)

Nên xảy ra các trường hợp sau :

TH1:\(\hept{\begin{cases}x-5\le0\\x-3\ge0\end{cases}}\)(Tự giải)

TH2:\(\hept{\begin{cases}x-1\le0\\x+3\ge0\end{cases}}\)(Tự giải)

Cuối cùng gộp khoảng (Nếu được)

Kết luận......