a ) OA \(\perp\)BC

BC // AD

=> OA \(\perp\)AD =>  AD là tiếp tuyến tại  A của đường tròn

b) ON cắt AC tại trung điểm của AC ( ON \(\perp\)AC sử dụng đường kính và dây đường tròn )
Lại có : ABCD là hình bình hành

=> BD cắt AC tại trung điểm của AC 

=>  Ba đường thẳng AC, BD,ON đồng quy

Chỉ là cách làm thôi bạn tự bổ sung nhé !

A B C D N

a: Ta có: ΔBKC vuông tại K

mà KH là trung tuyến

nên KH=BH

=>ΔHBK cân tại H

b: góc BAH=90 độ-góc ABC

góc IAK=90 độ-góc ACB

mà góc ABC=góc ACB

nên góc BAH=góc IAK

c: Gọi G là trung điểm của AI

góc GKH=góc GKI+góc HKI

=góc GIK+góc HBI

=góc BIH+góc HBI=90 độ

=>HK là tiếp tuyến của (G)

A B C H D M E N F K

a) Ta thấy \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) )

Vậy nên \(\widebat{KB}=\widebat{MB}\), suy ra \(\widehat{KCB}=\widehat{MCB}\) (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

Gọi giao điểm của ba đường cao là H.

Xét tam giác MHC có CD là đường cao đồng thời là phân giác nên tam giác MHC cân tại C.

Vậy thì CD cũng là trung tuyến hay DM = DH.

Ta có \(\frac{AM}{AD}=\frac{AD+DM}{AD}=1+\frac{DM}{AD}=1+\frac{DH}{AD}\)

Tương tự \(\frac{BN}{BE}=1+\frac{HE}{BE};\frac{CK}{CF}=1+\frac{FH}{CF}\)

Ta có \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)

Lại thấy rằng \(\frac{DH}{AD}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}};\frac{HE}{BE}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}};\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)

nên \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Vậy thì \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+1=4\)

Bạn vẽ hình đi mình làm cho

1/ Ta có:

\(a^5-a^3+a=2\)

Dễ thấy a = 0 không phải là nghiệm từ đó ta có:

\(a^6-a^4+a^2=2a\)

\(\Rightarrow2a=a^6+a^2-a^4\ge2a^4-a^4\ge a^4\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a\ge a^4\\a>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\ge a^3\\a>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\ge a^6\\a>0\end{cases}}\)

Dấu = không xảy ra 

Vậy \(a^6< 4\)

Câu 2/

Câu hỏi của XPer Miner - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có:\(N=x+\sqrt{2-x}=-\left(2-x\right)+\sqrt{2-x}+2\)

Đặt:2-x=m ta có:

\(N=-t+\sqrt{t}+2=-\left(t-2.\frac{1}{2}.\sqrt{t}+\frac{1}{4}\right)+\frac{9}{4}\)

\(=-\left(\sqrt{t}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\le\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow GTLN\) của N là:\(\frac{9}{4}\) đạt được khi \(\sqrt{t}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow\sqrt{t}=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{4}\)

Đkxđ \(x\le2\).
Xét \(N-2=x-2+\sqrt{2-x}\)
Đặt \(\sqrt{2-x}=t\left(t\ge0\right)\)
Ta có \(N-2=-t^2+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\).
Suy ra \(N-2\le\frac{1}{4}\) hay GTLN của \(N-2=\frac{1}{4}\) khi \(-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\).
Vậy GTLN của \(N=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\) khi \(t=\sqrt{2-x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2-x=\frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{7}{4}\).

+ Thử thách: những khó khăn, cản trở do cuộc sống, công việc đặt ra trên con đường tìm kiếm thành công.
=> phải có bản lĩnh, nghị lực, sức mạnh tinh thần để vượt qua.
+ Thành công rực rỡ: thành công lớn đem lại cả danh tiếng và lợi ích, đáng để tự hào và kiêu hãnh.
= > Thành công lớn trong cuộc đời cũng có thể là một thứ trở ngại, rào cản đòi hỏi con người phải có bản lĩnh, nghị lực mới có thể vượt qua để đi tới.
- Vì sao?
+ Tâm lí: dễ thỏa mãn, tự mãn => triệt tiêu động lực để phấn đấu, cố gắng.
+ Nhận thức: gây ra những ảo tưởng về khả năng của bản thân.
+ Gây nhiễu trong nhận thức về các mối quan hệ.
- Làm thế nào để vượt qua thử thách?
+ Cần bản lĩnh, sự tỉnh táo trong nhận thức để nhìn rõ cơ sở dẫn đến thành công. nhìn rõ các mối quan hệ trong đời sống.
+ Cần đặt ra mục tiêu mới, lên kế hoạch hành động để không lãng phí thời gian và nhanh chóng thoát ra khỏi hào quang của thành công trước đó.
+ Cần mở rộng tầm nhìn để nhận ra “ngoài trời còn có trời”, thành công của mình dù rực rỡ cũng không phải là duy nhất, quan trọng nhất.
Các em cần lấy được những dẫn chứng thực tế để làm sáng tỏ vấn đề

Tự hỏi thầm bản thân “Thử thách lớn nhất trong cuộc đời mình là gì?”.  Vậy Nên, bớt tham vọng chính là thử thách lớn của bạn, để tinh thần vui vẻ, yêu đời hơn.

ta có: \(x\sqrt{5}-x^2+2=-\left(x^2-x\sqrt{5}\right)+2=-\left(x^2-2.x.\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{5}{4}\right)+\frac{5}{4}+2\)

            \(=-\left(x-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+\frac{13}{4}\)

Mà \(\left(x-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

nên \(-\left(x-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+\frac{13}{4}\le\frac{13}{4}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{5}-x^2+2\le\frac{13}{4}\)

=> GTLN của \(x\sqrt{5}-x^2+2\) là 13/4 <=> \(x-\frac{\sqrt{5}}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

I know

Cách 1:Theo định lí Bơ-du thì:Phần dư của phép chia P(x)= 10.x²-7.x+a cho 2x-3 là P(\(\frac{3}{2}\))=\(10.\left(\frac{3}{2}\right)^2-\frac{7.3}{2}+a=a+12\).Để P(x) chia hết cho 2x-3 thì a+12=0\(\Leftrightarrow a=-12\)

Cách 2:\(10.x^2-7.x+a=10x^2-15x+8x-12+a+12=5x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)+a+12\)

Để \(10x^2-7x+a⋮2x-3\Leftrightarrow a+12⋮2x-3\Leftrightarrow a+12=0\Leftrightarrow a=-12\)

Cách 3:Đặt tính(bạn tư làm đi)

Cách 1:Theo định lí Bơ-du thì:Phần dư của phép chia P(x)= 10.x²-7.x+a cho 2x-3 là P(32 )=10.(32 )2−7.32 +a=a+12.Để P(x) chia hết cho 2x-3 thì a+12=0⇔a=−12

Cách 2:10.x2−7.x+a=10x2−15x+8x−12+a+12=5x(2x−3)+4(2x−3)+a+12

10x2−7x+a⋮2x−3⇔a+12⋮2x−3⇔a+12=0⇔a=−12