Câu hỏi của nguyễn thị ngọc tuyết - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em có thể tham khảo lời giải của cô tại đây nhé.

Ở đâu hả cô

dễ mà tự suy nghĩ đi

Câu a là Xét Tam giác đúngko

A B C H M Q P O K

Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.

=> OA = OP = OM.

Tương tự cho tam giác AHM vuông tại h và tam giác AQM vuông tại Q ta có:

OA = OP = OH = OM = OQ    (1)

=> Tam giác AOP và tam giác AOH cân tại O.

Xét tam giác ABC đều ta có:

AH là đường cao cũng là đường phân giác 

=> góc BAH = 1/2 góc BAC = 30 độ.

Ta có:

góc POM = 2 góc PAO ( góc ngoài của tam giác AOP cân tại O)

góc HOM = 2 góc HAO ( góc ngoài của tam giác AOH cân tại O)

=> góc POM - góc HOM = 2( góc PAO - góc HAO)

=> góc POH = 2 góc PAH

Mà góc PAH = 30 độ ( cmt)  

Nên góc POH = 60 độ

Mặt khác OH = OP ( cmt)

=> tam giác POH đều.

=> PH = OP    (2)

Tương tự ta có tam giác QOH đều 

=> QH = OQ    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra OP = OQ = PH = HQ

=> Tứ giác OPHQ là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)

 Gọi K là giao điểm của OH và PQ.

Do tứ giác OPHQ là hình thoi và K là giao điểm 2 đường chéo OH và PQ

Nên K là trung điểm của OH và PQ và OH vuông góc với PQ tại K.

=> OK = 1/2 OH = 1/4 AM.

Xét tam giác OKP vuông tại K theo định lý Pitago thuận ta có:

PK² = OP² - OK² = 1/4 AM² - 1/16 AM² = 3/16 AM²

=> PK = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AM\)

=> PQ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}AM\)

=> PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất.

Mà AM nhỏ nhất khi AM = AH

=> M trùng với H thì PQ nhỏ nhất.

Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung t

Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.

=> OA = OP = OM.

Tương tự cho tam giác AHM vuông tại h và tam giác AQM vuông tại Q ta có:

OA = OP = OH = OM = OQ    (1)

=> Tam giác AOP và tam giác AOH cân tại O.

Xét tam giác ABC đều ta có:

AH là đường cao cũng là đường phân giác 

=> góc BAH = 1/2 góc BAC = 30 độ.

Ta có:

góc POM = 2 góc PAO ( góc ngoài của tam giác AOP cân tại O)

góc HOM = 2 góc HAO ( góc ngoài của tam giác AOH cân tại O)

=> góc POM - góc HOM = 2( góc PAO - góc HAO)

=> góc POH = 2 góc PAH

Mà góc PAH = 30 độ ( cmt)  

Nên góc POH = 60 độ

Mặt khác OH = OP ( cmt)

=> tam giác POH đều.

=> PH = OP    (2)

Tương tự ta có tam giác QOH đều 

=> QH = OQ    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra OP = OQ = PH = HQ

=> Tứ giác OPHQ là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)

 Gọi K là giao điểm của OH và PQ.

Do tứ giác OPHQ là hình thoi và K là giao điểm 2 đường chéo OH và PQ

Nên K là trung điểm của OH và PQ và OH vuông góc với PQ tại K.

=> OK = 1/2 OH = 1/4 AM.

Xét tam giác OKP vuông tại K theo định lý Pitago thuận ta có:

PK² = OP² - OK² = 1/4 AM² - 1/16 AM² = 3/16 AM²

=> PK = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AM\)

=> PQ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}AM\)

=> PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất.

Mà AM nhỏ nhất khi AM = AH

=> M trùng với H thì PQ nhỏ nhất.

Bài này nhiều cách bn nhé, mik lm cách ngắn nhất

A B C D M

 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành

Vì BM là trung tuyến => MA=MC và MD=MB

=> ABCD là hbh

dễ thôi bạn : xét tứ giác abcd có bm là trung tuyến AC nên AM=AC 

mà BM=MD (gt) => tứ giác abcd là hbh (  Hai dường chéo = nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường )

hình thì chế tự vẽ nha

kéo dài BH cắt CA tại K

từ DH.DA=DB.DC

\(\Leftrightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DA}\)

từ đó suy ra \(\Delta BDH\)đồng dạng với \(\Delta ADC\left(c.g.c\right)\)

=>góc DAC= góc HBD=góc KBC

mà góc DAC+góc ACB=90 độ

=>góc KBC+góc KCB=90 độ

=>tam giác BKC vuông tại K

=>góc BKC=90 độ

=>BH là đường cao của tam giác ABC

=>H là trực tâm của tam giác ABC

=>đpcm

kéo dài BH cắt CA tại K

từ DH.DA=DB.DC

⇔DHDB =DCDA 

từ đó suy ra ΔBDHđồng dạng với ΔADC(c.g.c)

=>góc DAC= góc HBD=góc KBC

mà góc DAC+góc ACB=90 độ

=>góc KBC+góc KCB=90 độ

=>tam giác BKC vuông tại K

=>góc BKC=90 độ

=>BH là đường cao của tam giác ABC

=>H là trực tâm của tam giác ABC

=>đpcm

~~~~~~~~~~~ai đi ngang qua nhớ để lại k ~~~~~~~~~~~~~

 ~~~~~~~~~~~~ Chúc bạn sớm kiếm được nhiều điểm hỏi đáp ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~ Và chúc các bạn trả lời câu hỏi này kiếm được nhiều k hơn ~~~~~~~~~~~~

                                                                             a/         theo đề bài, ta có :     

^o1+ ^o2 +^o3 +^o4 = 180⁰ ( kề bù )

Mà ^o1 =^o2 (1)

      ^o3=^o4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 2^o2 + 2^o3 = 180⁰ 

-> 2( ^o2 +^o3) = 180⁰⁰

-> ^o2+^o3 = 180/ 2 = 90⁰

-> OH vuông góc với OK ( điều phải c/m)

b/                    Do PK vuông góc với OK (3)

                            PH vuông góc với OH (4)   

                         OK vuông góc với OH ( c/m câu a ) ( 5)

Từ (3) , (4) và (5) suy ra : Tứ giác OHPK là hình chữ nhật ( dấu hiệu nhận biết )

  -> PK // OH ( 2 cách đối nhau ) 

-> PH//OK ( 2 cạnh đối nhau  )

c/                 Theo câu b :Tứ giác OHPK là HCN -> ^P = 90⁰

hay PH vuông góc với PK ( điều phải c/m) 

Đề bài lạm j co Diểm K